数学竞赛之立体几何(三)

第三讲 四面体和球

一、基本知识点

（一）特殊四面体

【等腰四面体】1．定义：四面体ABCD中，若AB?CD?a,BC?DA?b,CA?BD?c，则四面体ABCD为等腰四面体。设其体积为V，全面积为S 2．性质：（1）V?2(a2?b2?c2)(b2?c2?a2)(c2?a2?b2)； 12（2）等腰四面体各个面为全等的锐角三角形；

（3）等腰四面体的相对棱的中点的连线段共点，且互相平分，每一条连线垂直于相对棱，且是四面体的对称轴；

（4）设等腰四面体的三个侧面间的二面角分别为：?,?,?，则：

abc2S2cos??cos??cos??1,???

sin?sin?sin?3V（5）若四面体的四个面面积相等，则四面体为等腰四面体。

（6）等腰四面体总可以和一个长方体对应起来，其边为长方体相对面的对角线。 【直角四面体】

1．定义：设四面体P?ABC中，PA,PB,PC两两垂直，则称此四面体为直角四面体。 2．性质：设PA?a,PB?b,PC?c，体积为V，内切球和外接球半径分别为r和R，

?PBC,?PCA,?PAB,?ABC的面积分别为S1,S2,S3,S

（1）底面?ABC是锐角三角形，顶点P在面ABC内的射影是?ABC的垂心H，且

1111； ???2222PHabc（2）对棱中点连线段共点且互相平分，其长均等于外接球半径R?（3）体积：V?12a?b2?c2； 21122abc；底面?ABC的面积： S?ab?b2c2?c2a2； 622222（4）勾股定理：S?S1?S2?S3；内切球的半径：r?222S1?S2?S3?S；

a?b?c（5）等比中项性质：S1?S?S?AHC，S2?S?S?BHC，S3?S?S?AHB；

（6）等周定理：若四面体六条棱长之和为定值，则当直角四面体为等腰四面体时体积最大； （7）直角四面体总可以和一个长方体对应起来，其直角顶点为长方体的一个顶点。

【正四面体】1．设四面体ABCD中，若AB?CD?BC?DA?CA?BD?a，则四面体为正四面体，其各个面为全等的等边三角形

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2．性质：（1）对棱互相垂直，对棱中点连线段是对棱的公垂线段，且连线段共点；正四面体的四条高交于一点； （2）全面积：S?3a2；体积：

2326a；a；对棱间的距离：d?a；高：h?3122外接球半径：R?661a；内切球半径：r?任两个面所成的二面角大小为：arccos a；

12436； 3（3）正四面体内任意一点到四个面的距离之和相等为定值（等于正四面体的高）

（4）正四面体总可以和一个正方体对应起来，正四面体的边为正方体的面对角线。 （二）一般四面体 1．体积公式：V?112Sh?abcsin?sin?sinC?S1S2sinA； 3a3a2．面角的性质：（1）同一顶点处的三个面角?,?,?中任意两个之和大于第三个，任两个之差小于第三个；（2）??????2?,A?B?C??；（3）正、余弦定理。

3．特殊点：（1）重心：连结四面体任一顶点与其对面重心的四条线段交于一点G，G称为

四面体的重心。G到顶点的距离是它到这顶点对面重心的距离的三倍，四面体三组对棱中点连线交于G且被G平分；

（2）外心：四面体的六条棱的中垂面交于一点O，O称为四面体的外心，O到每个顶点的距离等于外接球的半径R；

（3）内心：四面体的六个二面角的平分面交于一点I，I称为四面体的内心，I到各面的距离等于内切球的半径r。内切球与四面体的各个面相切，而不是与各条棱相切，同时对任意四面体不一定有与各条棱相切的球。

（三）球：由于球的任一截面均为圆，所以圆的许多性质，如相交弦定理，切线定理，切割线定理对球仍然成立，注意球的截面即球的大圆的特殊性及应用。 1．表面积：S?4?R，R为球的半径；球的体积：V?2．外切于半径为r的球的多面体的体积：V?243?R,R为球的半径； 31； rS（S为多面体的表面积）

33．多球堆垒问题“抓球心”；球与规则多面体或旋转体组合“找截面”。 （四）凸多面体的欧拉定理

凸多面体的顶点数v，棱数e和面数f之间有如下关系：v?e?f?2 二、典型例题讲解

例1．求证：若四面体中有两条高线相交，则另外两条高线也必定相交

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例2．一个正四面体的棱长为1，用它的每条棱为直径作球，设S是所有的六个球的交集，证明：S中含有两个点，它们的距离为

例3．在四面体P?ABC中，PA,PB,PC的长分别为a,b,c，两两所成的夹角分别为

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?,?,?，记以PA,PB,PC为棱的二面角的大小分别为A,B,C

证明：

例4．四面体ABCD有过A,B,C,D的外接球及与各面相切于内心的内切球。而球有公共的中心O，H为?ABC的垂心，H'为D在这个平面上的射影，证明：AB?CD,AC?BD，

sin?sin?sin?abcsin?sin?sin? ???sinAsinBsinC6VAD?BC,OH?OH'

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例5．已知?ABC的面积为?，外接圆半径为R，过A,B,C作平面ABC的垂线，并在平面ABC的同一侧的垂线分别取A1,B1,C1，使AA1?ha,BB1?hb,CC1?hc，这里

ha,hb,hc分别表示边BC,CA,AB边上的高，求四个平面A1B1C,B1C1A,C1A1B,.ABC所围

成的四面体的体积

例6．证明：存在一个四面体ABCD，它的所有的面都是彼此相似的直角三角形，并且以A,B为顶点的面角都是锐角，并确定四面体中的最长棱、最短棱各是哪一条，当最长棱为1时，求最短棱长

例7．证明：对任意四面体的高h1,h2,h3,h4和各对棱间的距离d1,d2,d3有：

1111111?????? 2222222h1h2h3h4d1d2d3

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例8．（1）证明：如果给定四面体的六个二面角（即两面之夹角）相等，那么，这个四面体一定是正四面体；

（2）如果五个二面角相等，这个四面体一定是正四面体吗？

例9．设A1A2A3A4是一个四面体，s1,s2,s3,s4分别是A1,A2,A3,A4为球心的球面，它们两两相切，如果存在一点O，使得以点O为球心可作一个半径为r的球面P与s1,s2,s3,s4都相切，证明：四面体A1A2A3A4是正四面体

例10．（1）四个半径为1的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径

（2）四个半径分别为2，2，3，3的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径

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