完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案(4)

点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示） （2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．

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（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b），ab和（2a+b）的数量关系．

考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： （1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽． （2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积． 2 2（3）通过观察图形知：（2a+b）（2a﹣b） 8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积． 解答： 解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b （2）由图21﹣2可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， 菁优网版权所有∵大正方形的边长=2a+b=7，∴大正方形的面积=（2a+b）=49， 又∵4个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4a×2b=8ab=8×3=24， ∴小正方形的面积=（2a﹣b）=49﹣24=25 （3）由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积 22即：（2a+b）﹣（2a﹣b）=8ab． 点评： 此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形 找出各图形之间的关系． 18．动手操作： 如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．

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22

提出问题： （1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；

（2）请写出三个代数式（a+b），（a﹣b），ab之间的一个等量关系． 问题解决：

根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：

2

已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）的值．

2

2

考点： 完全平方公式的几何背景． 专题： 几何图形问题． 分析： （1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积； 菁优网版权所有（2）利用（a+b）﹣4ab=（a﹣b）可求解． 解答： 提出问题： 22解：（1）（a+b）﹣4ab或（a﹣b） （2）（m+n）﹣4mn=（m﹣n） 问题解决： （3）（x﹣y）=（x+y）﹣4xy ∵x+y=6，xy=3． ∴（x﹣y）=36﹣9=25． 点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题． 19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方

2222222形．

（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同

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表示方法，直接写出代数式（a+b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是 （a﹣b）=（a+b）﹣4ab ； （2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n= ±6 ； （3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为 3 ． 考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： （1）利用大正方形的面积减4个小长方形的面积等于小正方形的面积求解； 22（2）利用公式（m﹣n）=（m+n）﹣4mn求解即可； 菁优网版权所有 17

（3）由左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，得出﹣8b+4a=4，由小长方形的周长为8，得出2（a+b）=8，联立得出a，b的值即可求出小长方形的面积． 解答： 解：（1）（a﹣b）=（a+b）﹣4ab． 22故答案为：（a﹣b）=（a+b）﹣4ab． （2）∵m+n=8，mn=7， 22∴（m﹣n）=（m+n）﹣4mn=64﹣28=36， ∴m﹣n=±6 故答案为：±6． （3）设长方形BC为m，CD为n， 右上角部分的阴影周长为：2（n﹣a+m﹣a） 左下角部分的阴影周长为：2（m﹣2b+n﹣2b） ∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4， ∴﹣8b+4a=4， 又∵2（a+b）=8， ∴解得a=3，b=1， ∴每一个小长方形的面积为ab=3×1=3． 故答案为：3． 点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系解决问题． 20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

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（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．

（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？ 考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： （1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式 菁优网版权所有（a+b+c）=a+b+c+2ab+2bc+2ac， （2）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解． 2222解答： （1）（a+b+c）=a+b+c+2ab+2bc+2ac （2）∵a+b=10，ab=20， 2222∴S阴影=a+b﹣（a+b）?b﹣a=a+b﹣ab=（a+b）﹣ab=×10﹣×20=50﹣30=20． 点评： 本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 21．阅读材料并填空：

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2222222

我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示， 如：（2a+b）（a+b）=2a+3ab+b，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．

2

2

222

请你写出图（3）所表示的代数恒等式 （x+y）=x+2xy+y ．

22

请你写出图（4）所表示的代数恒等式 （2a+b）（a+2b）=2a+5ab+2b ．

考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： 求出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式求出即可． 222解答： 解：图（3）所表示的代数恒等式是（x+y）（x+y）=（x+y）=x+2xy+y， 22图（4）所表示的代数恒等式是（2a+b）（a+2b）=2a+5ab+2b， 22222故答案为：（x+y）=x+2xy+y，（2a+b）（a+2b）=2a+5ab+2b． 点评： 本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度． 22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 x﹣y ． （2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

2 2

方法1： （x﹣y） ；方法2： （x+y）﹣4xy ． （3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

2222

代数式：（x+y），（x﹣y），4xy． （x+y）=（x﹣y）+4xy （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：

2

若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）= 4 ．

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考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： （1）图①分成了4个长为x，宽为y的长方形，图②中的阴影部分的小正方形的边长等于x﹣y，大正方形的边长等于x+y； 2（2）直接利用正方形的面积公式得到②中阴影部分的面积为（x﹣y）；也可以用大正方形的面积减去4个菁优网版权所有 19

长方形的面积即②（x+y）﹣4xy； 22（3）利用面积之间的关系易得（x+y）=（x﹣y）+4xy． 解答： 解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长=x﹣y； 故答案为：（x﹣y）； （2）方法①（x﹣y）；方法②（x+y）﹣4xy； 2 2故答案为：（x﹣y），（x+y）﹣4xy； （3）（x+y）=（x﹣y）+4xy； 22故答案为：（x+y）=（x﹣y）+4xy； （4）（x﹣y）=（x+y）﹣4xy=4﹣12=4 故答案为：4． 点评： 本题考查了列代数式：根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量． 23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？ m﹣n ． （2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积． 方法一： （m+n）﹣4mn ；方法二： （m﹣n） ． （3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

（m+n）；（m﹣n）； mm

2

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）的值．

2

22

2

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考点： 完全平方公式的几何背景． 分析： 平均分成后，每个小长方形的长为m，宽为n． （1）正方形的边长=小长方形的长﹣宽； （2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积； 菁优网版权所有（3）利用（m+n）﹣4mn=（m﹣n）可求解； 22（4）利用（a﹣b）=（a+b）﹣4ab可求解． 解答： 解：（1）m﹣n； （2）（m+n）﹣4mn或（m﹣n）； （3）（m+n）﹣4mn=（m﹣n）； （4）（a﹣b）=（a+b）﹣4ab， ∵a+b=8，ab=5， 2∴（a﹣b）=64﹣20=44． 点评： 本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题． 22222222 20

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