2015届线性规划

2016高三数学 不等式与线性规划 姓名：________ 2015.11.10

．．．．．．．．

x≥2，??139

1.实数x，y满足?x－2y＋4≥0，若z＝kx＋y的最大值为13，则实数k＝( ) A.2 B. C. D.5

24

??2x－y－4≤0，y≥－1，??

2.变量x，y满足?x－y≥2，

??3x＋y≤14，

若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则a的取值集合是____.

14

3.下列命题正确的是( ) A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋2≥4 B．若a＜0，则a＋≥－4

sinxa

ba

C．若a＞0，b＞0，则lg a＋lg b≥2lg a·lg b D．若a＜0，b＜0，则＋≥2

ab

4.函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)＞0的解集为_____． x＋y≥0，??

5.在平面直角坐标系xOy中，记不等式组?x－y≤0，

??y≤2

??u＝x＋y，

所表示的平面区域为D.在映射T：?

?v＝x－y?

的作用下，区域D内的点(x，y)对应的象为点(u，v)，则由点(u，v)所形成的平面区域的面积为_____．

6.设对任意实数x>0，y>0，若不等式x＋xy≤a(x＋2y)恒成立，则实数a的最小值为________． y≥0，??

7.设P是不等式组?x－2y≥－1，

??x＋y≤3

→

表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，若OP＝λm＋

1

μn(λ，μ∈R)，则μ的最大值为( ) A．3 B. C．0 D．－1

3y≤3x－2，??

8.设变量x，y满足约束条件?x－2y＋1≤0，

??2x＋y≤8，

y

则的最大值是________． x

?0≤x≤2，

9.已知实数x，y满足：?y≤2，

?x≤2y，

4x－3y＋4≥0，??4x－y－4≤0，

11.设x，y满足?x≥0，

??y≥0，x≥0，??

12.设不等式组?y≤2，

??ax－y＋2≤0

2x＋y－1

，则z＝的取值范围是________．

x－1

3a＋2b

10.若a＞0，b＞0，方程x2＋y2－4x＋2y＝0的曲线关于直线ax－by－1＝0对称，则的最小值为____．

ab

，若z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8，则ab的最大值为____．

π

表示区域为D，且圆x2＋y2＝4在D内的弧长为，则a的值为________．

2

2016高三数学 不等式与线性规划 参考答案： ．．．．．．．．

1.解：设直线x－2y＋4＝0与2x－y－4＝0、直线x－2y＋4＝0与x＝2的交点分别为A，B，则A(4,4)，B(2,3)，z＝kx＋y可化为y＝－kx＋z.当k＝0时，显然不符合题意．当－k>0，即k<0时，A，B两点都可能是最优点，

9

但代入后检验都矛盾；当－k<0，即k>0时，显然点A(4,4)是最优解，代入后可得k＝.[答案]C

4

1

2.[解析]作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知直线z＝ax＋y 与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或 －a＝－3，∴a＝－1或a＝3.故a的取值集合是{3，－1}.

4

3.[解析]当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错；若a＜0，则a＋≤－4，B错；

a

ba

因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a＜0，b＜0，所以，都大于零，D正确．

ab

2

4.[解析]∵f(x)＝ax＋(b－2a)x－2b为偶函数，∴b－2a＝0，即b＝2a，∴f(x)＝ax2－4a.∴f′(x)＝2ax.又∵f(x)在(0，＋∞)单增，∴a＞0.由f(2－x)＞0，得a(x－2)2－4a＞0，∵a＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0.

??u＝x＋y，

5.[解析]由映射T：?

??v＝x－y，

v

，?x＝u＋2

得?u－v

y＝?2，

x＋y≥0，??

代入?x－y≤0，

??y≤2，

u≥0，??

得?v≤0，??u－v≤4， 1

画出可行域如图所示，所以由点(u，v)所形成的平面区域的面积为×4×4＝8. 2

6.[解析]原不等式化为(a－1)x－xy＋2ay≥0，两边同除以y，

xxx得(a－1)－＋2a≥0，令t＝，则(a－1)t2－t＋2a≥0，由恒成立知，

yyy

2＋62＋6

a－1>0，Δ＝1－4(a－1)·2a≤0，解得a≥，∴amin＝.

44

??x＝λ＋2μ，→

7.A[解析]设P的坐标为(x，y)，因为OP＝λm＋μn，所以?解得μ＝x－y.题中不等式组表示的可?y＝λ＋μ，?

行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数μ＝x－y过点G(3,0)时，μ取得最大值为3－0＝3，故选A.

y

8.[解析]表示的区域如图阴影部分所示，表示阴影部分内一点与原点连线的斜率， x

??2x＋y＝8，y

最大斜率在点A，即?的交点(2,4)处，取最大值2.

x?y＝3x－2?

2x＋y－1

9.[解析]由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝

x－1

y＋1＝2＋的取值范围转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值

x－1

范围，由图形知，A点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜 率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围 为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．

10.[解析]该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，由题意得，直线ax－by－1＝0经过圆心，则2a＋b－1＝0，即

3a＋2b32?32?6a2b6a2b2a＋b＝1，所以＝＋＝?b＋a?(2a＋b)＝＋＋7≥2·＋7＝7＋43(当且仅当a＝2－3，

abbababa

b＝23－3时等号成立)．

aza11.[解析]画出可行域，如图所示，目标函数变形为y＝－x＋，由已知得－＜0， bbb且纵截距最大时，z取到最大值，故当直线l过点B(2,4)时，目标函数取到最大值， 即2a＋4b＝8，因a＞0，b＞0，由基本不等式，得2a＋4b＝8≥42ab，即ab≤2 (当且仅当2a＝4b＝4，即a＝2，b＝1时等号成立)，故ab的最大值为2. ︵

π

12.[解析]依题意知，可行域为如图所示的阴影部分，AB＝，因为圆的 2

π

半径为2，所以∠AOB＝，所以点B的坐标为(2，2)，又直线 4

y＝ax＋2过点B，所以2＝2a＋2，解得a＝1－2.

2

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