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北京市西城区2012年高三二模试卷
数学（文科）参考答案及评分标准
2012.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A； 2．C； 3．D； 4．A； 5．D； 6．B； 7．C； 8．C ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．
π1； 10．?2； 11．； 46112．0，{x|1?x?2}； 13．，3π； 14．② ③．
3注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．
依题意 a3?a8?(a2?a7)?2d??6，从而d??3． ??????2分 所以 a2?a7?2a1?7d??23，解得 a1??1． ??????4分
所以数列{an}的通项公式为 an??3n?2． ??????6分 （Ⅱ）解：由数列{an?bn}是首项为1，公比为c的等比数列，
得 an?bn?cn?1，即?3n?2?bn?cn?1，
所以 bn?3n?2?cn?1． ??????8分 所以 Sn?[1?4?7???(3n?2)]?(1?c?c2???cn?1) ?n(3n?1)?(1?c?c2???cn?1)． ??????10分 2n(3n?1)3n2?n?n? 从而当c?1时，Sn?； ??????11分 22n(3n?1)1?cn? 当c?1时，Sn?． ??????13分 21?c
16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：f(x)?2sin(?x???π)． ??????2分 3京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/
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设f(x)的最小正周期为T． 由图可得
Tπππ??(?)?，所以 T?π，??2． ??????4分 2442π由 f(0)?2，得 sin(??)?1，
3πππ因为 ??(?,)，所以 ??． ??????6分
622π（Ⅱ）解：f(x)?2sin(2x?)?2cos2x． ??????8分
2由 f()?2cos??224?45?25，得 cos?， ??????9分 525?1?所以 cos??2cos所以
?23． ??????11分 52sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?1???． ??????13分
2sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?4
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结EO，DO．
因为 EA?EB，所以 EO?AB． ?????2分
GFE因为 AB∥CD，AB?2CD， 所以 BO∥CD，BO?CD．
又因为 AB?BC，所以四边形OBCD为矩形，
CBDOA所以 AB?DO． ??????4分 因为 EO?DO?O，所以 AB?平面EOD． ??????5分
所以 AB?ED． ??????6分 （Ⅱ）解：点F满足
EF1?，即F为EA中点时，有DF// 平面BCE．?????7分 EA2证明如下：取EB中点G，连接CG，FG． ??????8分 因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG?因为AB∥CD，CD?1AB． 21AB，所以FG∥CD，FG?CD． 2所以四边形CDFG是平行四边形，所以 DF∥CG． ??????11分 因为 DF?平面BCE，CG?平面BCE， ??????12分
所以 DF// 平面BCE． ??????13分
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18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?(x?1)(x?1)2x?f(x)??2，． ??????2分 22x2?1(x?1)由 f?(0)?2， 得曲线y?f(x)在原点处的切线方程是2x?y?0．????4分 （Ⅱ）解：f?(x)??2(x?a)(ax?1)． ??????6分
x2?12x① 当a?0时，f?(x)?2．
x?1所以f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减． ??????7分
1(x?a)(x?)a．当a?0，f?(x)??2a2x?1
② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1??a，x2?
1，f(x)与f?(x)的情况如下：a
x2 0 x f?(x) (??,x1) ? x1 0 (x1,x2) (x2,??) ? ? ↗ f(x) ↘ f(x1) f(x2) ↘ 故f(x)的单调减区间是(??,?a)，(,??)；单调增区间是(?a,)．???10分 ③ 当a?0时，f(x)与f?(x)的情况如下： x f?(x) 1a1a
(??,x2) x2 0 (x2,x1) ? x1 0 (x1,??) ? ↗ ? ↗ f(x) f(x2) ↘ f(x1) 所以f(x)的单调增区间是(??,)；单调减区间是(?1a1,?a)，(?a,??)． a1a ??????13分 综上，a?0时，f(x)在(??,?a)，(,??)单调递减；在(?a,)单调递增.
1a1a?0时，f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减；a?0时，f(x)在(??,)，
a(?a,??)单调递增；在(1,?a)单调递减．
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19．（本小题满分14分）
b1a2?b2b22??1??（Ⅰ）解： 由 e?， 得 ． ① ??????2分 22aaa332由椭圆C经过点(,)，得
312291??1． ② ??????3分 4a24b2联立① ②，解得 b?1，a?3． ????4分
x2?y2?1． ????5分 所以椭圆C的方程是 3（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为
y?kx?2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得 (1?3k2)x2?12kx?9?0． ??????7分 令??144k2?36(1?3k2)?0，得k?1． 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?? 所以 S?AOB?S?POB?S?POA?22212k9xx?，． ?????9分 121?3k21?3k21?2?x1?x2?x1?x2． ??????10分 212k23636(k2?1)因为 (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?， )??22221?3k1?3k(1?3k)设 k?1?t(t?0)， 则 (x1?x2)?2236t36363???． ?????13分
(3t?4)29t?16?2441629t??24tt当且仅当9t?1643，即t?时等号成立，此时△AOB面积取得最大值． t32 ??????14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：6?3?3，分解积的最大值为3?3?9； ??????1分
7?3?2?2?3?4，分解积的最大值为3?2?2?3?4?12； ??????2分 8?3?3?2，分解积的最大值为3?3?2?18． ??????3分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，ak(k?1,2,?,n)中可以有2个2． ??????4分
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当ak(k?1,2,?,n)有3个或3个以上的2时， 因为2?2?2?3?3，且2?2?2?3?3， 所以，此时分解积不是最大的．
因此，ak(k?N*)中至多有2个2． ??????7分 （Ⅲ）解：① 当ak(k?1,2,?,n)中有1时， 因为1?ai?(ai?1)，且1?ai?ai?1，
所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ??????8分 ② 由（Ⅱ）可知，ak(k?1,2,?,n)中至多有2个2． ③ 当ak(k?1,2,?,n)中有4时，
若将4分解为1?3，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为2?2，则分解积相同；
4?3?3?2 若有两个4，因为4?4?3?3?2，且4?使得分解积更大．
，所以将4?4改写为3?3?2，
因此，ak(k?1,2,?,n)中至多有1个4，而且可以写成2?2． ??????10分 ④ 当ak(k?1,2,?,n)中有大于4的数时，不妨设ai?4， 因为ai?2(ai?2)，
所以将ai分解为2?(ai?2)会使得分解积更大． ??????11分 综上所述，ak(k?1,2,?,n)中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．
于是，当N?3m(m?N)时，N?3?3?????3使得分解积最大； ????12分 ???m个* 当N?3m?1(m?N)时，N?3?3?????3?2?2?3?3?????3?4使得分解积??????(m?1)个(m?1)个*最大； ??????13分 当N?3m?2(m?N)时，N?3?3?????3?2使得分解积最大． ???m个 ??????14分
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