数分三试卷2015年1月

浙江师范大学《数学分析B(三)》试卷（A卷）

（2014?2015学年 第1学期）

考试形式 闭卷 使用学生 数学与应用数学2013级 考试时间 120 分钟 出卷时间 2014 年12月31 日 说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理. 一、 选择题（每小题2分，共10分） 1. 设f(x,y)?xy，则在原点处（ ） 3x?yA. 存在重极限 B. 累次极限不存在

C. 不存在重极限 D. 累次极限等于重极限 2. 曲线x?arctant,y?ln(1?t),z??25在P点处的切线向量与三个坐 24(1?t)标轴的夹角相等，则点P对应的t值为（ ） A.

1517 B. C. D. 0 2243. 设b?0，则

???0xe?xydy在[0,b]上（ ）

A. 发散 B. 的收敛性与b有关 C. 一致收敛 D. 收敛但不一致收敛 4.

???0tae?tdt?（ ）

A. ?(a) B. ?(a?1) C. ?(a?1) D. ?(a?2) 5. 若f(x,y)?e?x?xcos(y?x2)，则fx'(x,x2)=（ ）

?xxxA. ?e B. e C. e D. ?e 二、

填空题（每小题3分，共18分）

z?x?1. 设u(x,y,z)???，则du(1,2,3)= ① .

?y?2. 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则点(x0,y0)是函数z的极值点的必要

条件为gradf(x0,y0)? ② . 3. 函数z?arctanx?y?在点(－1，2)沿a??1,?3?方向的方向导数是 ③ . 1?xy4. 设D1由直线x=0，y=0及x+y=1所围，D={（x，y）: |x|+|y|≤1}, 若f在D上连续，

a???f(x2,y2)dxdy，b???f(x2,y2)dxdy，则

DD1a? ④ . b

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5.

?dx?011?x0dy?x?y1f(x,y,z)dz化为先对x后对y最后对z的累次积分I，则

??cI = ⑤ . 6. 已知含参量反常积分?(x)??“??A” f(x,y)dy在区间I上不一致收敛. 用

定义叙述如下 ⑥ .

三、 计算题（每小题8分，共56分） 1. 已知f(z)可微，F(x,y)??xyxy?F?F?2F?2F(x?yz)f(z)dz, 求，，2和.

?x?x?y?x?y?u?u和. ?x?y2. 设u?u(x,y)由u?f(x,y,z,t),g(y,z,t)?0,h(z,t)?0确定，求

3. 求由方程x2?2xy?2y2?1确定的隐函数的极值.

4. 求曲线2x2?3y2?z2?9,z2?3x2?y2在点(1,?1,2)处的切线方程与法平面. 5. 求曲线积分(x?y)dx?(y?x)dy的值，其中L表示以A(1,1)、B(3,2)、

?22C(2,3)为顶点的三角形，方向为正向.

6. 求

222222(y?z)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，其中L为x?y?z?1与三坐标 ??L面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧. 7. 设Ω：四、

xyz???1(a,b,c?0)，计算三重积分I????ea2b2c2?222x2a?2y2z2?b2c2dxdydz.

证明题（任选两题，每小题8分，共16分）

2221. 设f(x,y)?Ax?2Bxy?Cy?2Dx?2Ey?F，且A?0,B?AC?0，证

明存在一点(x0,y0)，使得f(x0,y0)为极小值.

2. 试证明yz(2x?y?z)dx?xz(x?2y?z)dy?xy(x?y?2z)dz为某个三元函数

u(x,y,z)的全微分，并求u(x,y,z).

3. 试证明f(x,y,z)?Ax?By?Cz?2Dyz?2Ezx?2Fxy在x?y?z?1上 的最大值和最小值恰好是矩阵

?A????F??EFBDE?的最大特征值和最小特征值. D??C??222222第 2 页 共 2 页 数学分析（三）2013级 2015.1

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