江苏省2015届高考数学二轮复习：第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B级考点，其余都是A级考点，但高考必考．在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)．要能准确建模(方程或不等式)．

1. 掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．

2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质． 3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．

x2y210

1. 若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．

5m5

2.若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为3，则M到该抛物线焦点的距

离为________．

3.双曲线2x2－y2＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．

x2y2

4.已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在

abPF1点P，使得＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．

PF2

x2y26

【例1】 已知椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(22，0)，斜率为1

ab3的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．

(1) 求椭圆G的方程； (2) 求△PAB的面积． 【例2】 直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(22，1)到两焦点的距离之和为43.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，→→

且AF＝3FB.求过O、A、B三点的圆的方程．

1

x22

【例3】 已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭

4圆于M、N两点．

(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.

(1) 求曲线C的方程；

(2) 曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E、F，设E、F的纵坐标分别为y1、y2，求y1·y2的值(用t表示)．

x2y2

1. (2011·天津)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个

ab焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为__________．

2.(2010·全国)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交

2

→→

C于D点，且BF＝2FD，则C的离心率为________．

1x2y2

1，?作圆x2＋y2＝1的切线，切3.(2011·江西)若椭圆2＋2＝1的焦点在x轴上，过点??2?ab点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．

4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

x2y2

5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，

42过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1) 当直线PA平分线段MN时，求k的值； (2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.

6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝(1) 求该椭圆的标准方程；

→→→

(2) 设动点P满足：OP＝OM＋2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的1

斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求出F1，

2F2的坐标；若不存在，说明理由．

2，一条准线的方程为x＝22. 2

3

(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

(1) 求证：A、C、T三点共线；

6＋2→→

(2) 如果BF＝3FC，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐

3标．

2ax2y2?(1) 证明：设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T??c，0?.(1ab

分)

xyxy

AT：2＋＝1 ②，BF：＋＝1 ③，(3分)

abc－bc

2acb

联立①②③解得：交点C?a2＋c2，a2＋c2?，代入①得(4分)

??c?2?b?2?2a2?a＋c2??a2＋c2?4a2c2＋?a2－c2?2

a2＋b2＝?a2＋c2?22

3

2

3

＝1，(5分)

满足①式，则C点在椭圆上，A、C、T三点共线．(6分) (2) 解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF.

4cb?11→→

，，代入①得2＋2＝1，∴ a2＝2c2，∵BF＝3FC，CE＝b，EF＝c，则C?33??33abb2＝c2.(7分)

2

设P(x0，y0)，则x0＋2y0＝2c2.(8分)

4cc?214c42

，，AC＝5c，S△ABC＝·此时C?2c·＝c，(9分) ?33?3233直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，

|x0＋2y0－2c|x0＋2y0－2c

P到直线AC的距离为d＝＝，

55x0＋2y0－2c11x0＋2y0－2c2

S△APC＝d·AC＝··5c＝·c.(10分)

22335只需求x0＋2y0的最大值．

2222

(解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x22x0y0≤x0＋4y20＋4y0＋2·0＋2(x0＋y0)(11分)

22＝3(x20＋2y0)＝6c，∴ x0＋2y0≤6c.(12分)

?4c?2?b?2

?3??3?

当且仅当x0＝y0＝

6

c时，(x0＋2y0)max＝6c.(13分) 3

2

(解法2)令x0＋2y0＝t，代入x2＋2y0＝2c2得

4

2222

(t－2y0)2＋2y20－2c＝0，即6y0－4ty0＋t－2c＝0.(11分)

Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤6c.(12分) 当t＝6c，代入原方程解得：x0＝y0＝∴ 四边形的面积最大值为

6

c.(13分) 3

6－22426＋226＋2

c＋c＝c＝，(14分) 3333

∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，(15分)

x2266

此时椭圆方程为＋y＝1，P点坐标为?，?.(16分)

23??3

第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)

x2y2

1. 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________，

m－12－m若该方程表示双曲线，则m的取值范围是________．

3

1，? (－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】 ??2?x2y2

2. 点P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1 ，F2为椭圆的焦点，如果∠PF1F2＝75°，

ab∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率为________．

【答案】

6

3

3. 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．

【答案】 x＝－1

x22

4. 设P点在圆x＋(y－2)＝1上移动，点Q在椭圆＋y＝1上移动，则|PQ|的最大值

9

2

2

是________．

36

【答案】 1＋ 解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，于是只要求|CQ|

2的最大值．

设Q(x，y)，∴ |CQ|＝x2＋?y－2?2＝9?1－y2?＋?y－2?2＝－8y2－4y＋13， 1

∵ －1≤y≤1，∴ 当y＝－时，|CQ|max＝

4

273636＝，∴ |PQ|max＝1＋. 222

x2y2

5. (2011·南京二模)如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、

164D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA、AM的中点．

5

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