2016年高考数学大题狂练：2016年高考数学大题限时狂练四：概率与

2016年高考数学大题限时狂练四：概率与统计

(推荐时间：70分钟)

1． （2015年新课标一卷19题）

某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量

yi?i?1,2,???,8?数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

年销售量/t620600580560540520500480343638404244464850525456年宣传费/千元

x y w ??xi?1ni?x?2 ??i?1nwi?w ???2i?1nxi?x??yi?y???w?w??yii?1ni?y? 1469 108.8 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1n表中wi?xi，w??wi，

8i?1（Ⅰ）根据散点图判断，y?a?bx与y?c?dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式为z?0.2y?x，根据（Ⅱ）的结果回答下

列问题：

（ⅰ）年宣传费x?49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据?u1,v1??u2,v2?，???，?un,vn?，其回归直线v????u的斜率和截

??距的最小二乘估计分别为???ui?1nni?u??vi?v?2??ui?u?i?1?u. ??v??，?

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2． 改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2003到2012

年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2003年编号为1,2004年编号为2，?，2012年编号为10.数据如下：

年份(x) 人数(y) 1 3 2 5 3 8 4 11 5 13 6 14 7 17 8 22 9 30 10 31 (1)从这10年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有1年多于15人的概率；

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(2)根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

3． 某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有A、B两个

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题目，该学生答对A、B两题的概率分别为和，两题全部答对方可进入面试，面试要回

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答甲、乙两个题目，该学生答对这两个题目的概率均为，至少答对一题即可被聘用(假

2设每个环节的每个题目回答正确与否是相互独立的)． (1)求该学生被公司聘用的概率；

(2)设该学生答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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4． 现有长分别为1 m、2 m、3 m的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的

编号)，从中随机抽取n根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9)．再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

(1)当n＝3时，记事件A＝{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P(A)； (2)当n＝2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计)，①求ξ的分布列；②令η＝－λξ＋λ＋1，E(η)>1，求实数λ的取值范围．

5． 通常把大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称为可入肺颗粒物)称为PM2.5.我国

PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，空气质量与PM2.5的关系如下表：

空气质量 日均值(微克/立方米) 一级 35以下 二级 35～75 超标 75以上 2

某城市环保局从该市城区2012年冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

PM2.5日均值(微克/立方米)

(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．

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6． 某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次

在A或B处投篮，在A处投进一球得3分，在B处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种： 方案1：先在A处投一球，以后都在B处投； 方案2：都在B处投篮．

已知甲同学在A处投篮的命中率为0.4，在B处投篮的命中率为0.6. (1)甲同学若选择方案1，求X＝2时的概率； (2)甲同学若选择方案2，求X的分布列和期望；

(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．

答案精析

1． （2015年新课标一卷19题）

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某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量

yi?i?1,2,???,8?数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

年销售量/t620600580560540520500480343638404244464850525456年宣传费/千元

x y w ??xi?1ni?x?2 ??i?1nwi?w ???2i?1nxi?x??yi?y???w?w??yii?1ni?y? 1469 108.8 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1n表中wi?xi，w??wi，

8i?1（Ⅰ）根据散点图判断，y?a?bx与y?c?dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式为z?0.2y?x，根据（Ⅱ）的结果回答下

列问题：

（ⅰ）年宣传费x?49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据?u1,v1??u2,v2?，???，?un,vn?，其回归直线v????u的斜率和截

??距的最小二乘估计分别为???ui?1nni?u??vi?v?2??ui?u?i?1?u. ??v??，?【答案】（Ⅰ）y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（Ⅱ）

?y?100.6?68x（Ⅲ）46.24

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