探究型问题2018版中考数学压轴题(3)

29．（2017临沂，第25题，11分）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

30．（2017德州，第24题，12分）有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比

1k

x与y?（k≠0）的图象性质． kx

1k

小明根据学习函数的经验，对函数y?x与y?，当k＞0时的图象性质进行了探究．

kx

例函数y?下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数y?坐标为 ；

（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点． ①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM=PN． 证明过程如下，设P（m，

1k

x与y?图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（﹣k，﹣1），则B点的kx

k），直线PA的解析式为y=ax+b（a≠0）． m??ka?b??1?a?_____?则?，解得： k?ma?b??b?_____?m?∴直线PA的解析式为 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明． ②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．

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