最新-“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案 精(2)

因为PH，MN，QR都垂直于直线y 所以

QMRNQRRN??1，所以，PH∥MN∥QR，于是

??MPNHPHHN， ，

因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．

于是?HNP??RNQ，从而?PNM??QNM．

12 …………15分 12（A）．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

解：不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x1,?x1?x2?ab,? ?1xx?(a?b),?122?x2(x1≤x2)，则有

所以 xx?x1?x2?1212a?12b?ab，

. …………5分

?1≥0,x2?1≥0，

4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5因为a,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，x12a?1≥1,2b?1≥1，所以 ??(x1?1)(x2?1)?0,?(2a?1)(2b?1)?5, 或 ?（?x1?1)(x2?1)?1,?(2a?1)(2b?1)?1.

（1）当??(x1?1)(x2?1)?0,?(2a?1)(2b?1)?5时，由于a,b都是正整数，且a≤b，可得 a＝1，b＝3，

此时，一元二次方程为x2（2）当??3x?2?0，它的两个根为x1?1，x2?2．

?(x1?1)(x2?1)?1,?(2a?1)(2b?1)?1时，可得 a＝1，b＝1，

此时，一元二次方程为x2?x?1?0，它无整数解.

综上所述，当且仅当a＝1，b＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x

1?1，x2?2． ……………15分

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