江苏省泰州中学2011年高三质量调研测试（数学）(3)

由

?2?2k??2x??6?3??2k? (k?Z) 2得y?f(x)的单调递增区间为[k??（Ⅱ）当

?6,k??2?] (k?Z)……7分 37??13? ……9分 ?2x??2666?1 ∴?1?sin(2x?)? ……11分

62?x??时，

∴1?m?f(x)?4?m，∴???1?m?2?m?1 ……14分

4?m?5?16．(14分)在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平

面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

P（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF； （Ⅲ）求证CE∥平面PAB． E（资料来源：数学驿站 www.maths168.com） 16．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2．

BFAD在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

C∴CD＝23，AD＝4． ∴SABCD＝

11AB?BC?AC?CD 22P115??1?3??2?23?3．?????? 3分 222155则V＝?3?2?3． ?????? 5分

323（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC． ?????? 7分 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． ∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC． ??? 9分 ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．?? 10分 （Ⅲ）证法一：

取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA． ∵EM ?平面PAB，PA?平面PAB， ∴EM∥平面PAB． ??? 12分 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2， ∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

NEFABMDPCEFABCD

∵MC ?平面PAB，AB?平面PAB， ∴MC∥平面PAB． ??? 14分 ∵EM∩MC＝M，

∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC?平面EMC，

∴EC∥平面PAB． ??? 15分 证法二：

延长DC、AB，设它们交于点N，连PN． ∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD， ∴C为ND的中点． ??12分 ∵E为PD中点，∴EC∥PN．??14分 ∵EC ?平面PAB，PN ?平面PAB， ∴EC∥平面PAB． ??? 15分

17.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角?.

(1)当???3且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；

(2)当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

x

?

解：由已知得等腰梯形的高为xsin?，上底长为2+2xcos?，从而横截面面积S=

12

(2+2+2xcos?)·xsin?=xsin?cos?+2xsin?. 2(1)当???3时，面积S=32x+3x是(0,+∞)上的增函数，当x=2时，S=33<8；4当x=3时，S=数值是3.

93?33?8. 所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整4(2)当x=2时，S=4sin?cos?+4sin?，S'=4cos=4(2cos

2

2

?-4sin2?+4cos?

?. 当

3????00，S是增函数；当

3323S有最大值33. 综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是33.

?+cos?-1)=4(2cos?-1)·(cos?+1)，由S'=0及?是锐角，得??

18. (本题满分16分)

已知圆C:x?y?9，点A(?5,0)，直线l:x?2y?0. ⑴求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程； ⑵在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有足条件的点B的坐标.

18．解：⑴设所求直线方程为y??2x?b，即2x?y?b?0，

22yPABOxPB为一常数，试求所有满PA?直线与圆相切，∴|?b|2?122?3，得b??35，

∴所求直线方程为y??2x?35 ---------------5分 ⑵方法1：假设存在这样的点B(t,0)，

PB|t?3|； ?PA2PB|t?3|当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，， ?PA8|t?3||t?3|9依题意，，解得，t??5（舍去），或t??。 ---------------------------8分 ?2859PB下面证明 点B(?,0)对于圆C上任一点P，都有为一常数。

5PA当P为圆C与x轴左交点(?3,0)时，设P(x,y)，则y?9?x，

229188118(x?)2?y2x2?x??9?x2(5x?17)PB9552525∴2?， ???2222PA(x?5)?yx?10x?25?9?x2(5x?17)252PB3 ----------------------------15分 ?为常数。

PA5PB222方法2：假设存在这样的点B(t,0)，使得为常数?，则PB??PA，

PA从而

∴(x?t)?y??[(x?5)?y]，将y?9?x代入得，

2222222x2?2xt?t2?9?x2??2(x2?10x?25?9?x2)，即

2(5?2?t)x?34?2?t2?9?0对x?[?3,3]恒成立， ---------------------------8分 3????2?5???1??5??t?0,?∴?，解得（舍去）， 9或?22t??5???t???34??t?9?0,?5?

所以存在点B(?,0)对于圆C上任一点P，都有

953PB为常数。 ---------------------15分

5PA19．已知无穷数列{an}中，a1，a2，?，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am

＋2

，?，a2m是首项为

11，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，22均有an＋2m＝an成立．

（1）当m＝12时，求a2010；

1，试求m的值； 128（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

19．解（1）m＝12时，数列的周期为24．

∵2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，

（2）若a52＝

11∴a2010＝a18＝a12＋6＝()6?．

2641（2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝()k．

2∵

11?()7，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项． 1282∴a52最多是第三个周期中的项．

若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝∴m＝52－7＝45；

若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝

1．∴3m＝45，m＝15； 1281．∴5m＝45，m＝9； 1281． 128综上，m＝45，或15，或9． （3）2m是此数列的周期，

∴S128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和． ∴S2m最大时，S128m＋3最大．

11[1?()m]m(m?1)2??m2?11m?1?1??(m?11)2?125?1， ?(?2)?2∵S2m＝10m?mm1222421?2当m＝6时，S2m＝31－当m≤5时，S2m＜30163＝30； 646463； 6411212563＝29＜30． )?2464当m≤7时，S2m＜?(7?

63＋24＝2007． 64由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m＋3≥2010成立．

∴当m＝6时，S2m取得最大值，则S128m＋3取得最大值为64×3020．(本小题满分16分)

已知f1(x)?|3?1|,f2(x)?|a?3?9|(a?0),x?R, 且f(x)??xx?f1(x),f1(x)?f2(x).

f(x),f(x)?f(x)?212(Ⅰ)当a?1时,求f(x)在x?1处的切线方程；

(Ⅱ)当2?a?9时,设f(x)?f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间

[m,n] 的长度定义为n?m),试求l的最大值；

(Ⅲ)是否存在这样的a，使得当x??2,???时,f(x)?f2(x)?若存在,求出a的取值范

围；若不存在，请说明理由.

20. 解: (Ⅰ)当a?1时,f2(x)?|3?9|.

因为当x?(0,log35)时,f1(x)?3?1,f2(x)?9?3, 且f1(x)?f2(x)?2?3?10?2?3xlog35xxx?10?2?5?10?0,

所以当x?(0,log35)时,f(x)?3?1,且1?(0,log35)??????????(3分)

x由于f?(x)?3ln3,所以k?f?(1)?3ln3,又f(1)?2,

x故所求切线方程为y?2?(3ln3)(x?1),

即(3ln3)x?y?2?3ln3?0?????????????????????(5分) (Ⅱ) 因为2?a?9,所以0?log3 当x?log399?log3,则 a29xx时,因为a?3?9?0,3?1?0, axxx所以由f2(x)?f1(x)?(a?3?9)?(3?1)?(a?1)3?8?0,解得x?log3从而当log38, a?198时,f(x)?f2(x) ?????????????(6分) ?x?log3aa?19xx① 当0?x?log3时,因为a?3?9?0,3?1?0,

a10xxx所以由f2(x)?f1(x)?(9?a?3)?(3?1)?10?(a?1)3?0,解得x?log3,

a?1109从而当log3?x?log3时,f(x)?f2(x) ???????????(7分)

a?1axxx③当x?0时,因为f2(x)?f1(x)?(9?a?3)?(1?3)?8?(a?1)3?0,

从而f(x)?f2(x) 一定不成立?????????????????????(8分)

108,log3]时,f(x)?f2(x), a?1a?181042故l?log3?log3?log3[(1?)] ?????????????(9分)

a?1a?15a?1综上得,当且仅当x?[log3

12???????????????(10分) 5(Ⅲ)“当x??2,???时,f(x)?f2(x)”等价于“f2(x)?f1(x)对x??2,???恒成

从而当a?2时,l取得最大值为log3立”,

即“|a?3?9|?|3?1|?3?1(*)对x??2,???恒成立” ????????(11分)

xxxlog39x① 当a?1时,log3?2,则当x?2时,a?3?9?a?3a?9?0,则(*)可化为

a88a?3x?9?3x?1,即a?1?x,而当x?2时,1?x?1,

33所以a?1,从而a?1适合题意????????????????????(12分)

9② 当0?a?1时,log3?2.

a988xx⑴ 当x?log3时,(*)可化为a?3?9?3?1,即a?1?x,而1?x?1,

a33所以a?1,此时要求0?a?1?????????????????(13分)

99x⑵ 当x?log3时,(*)可化为0?3?1??1,

aa所以a?R,此时只要求0?a?1?????????????????(14分)

910101xx(3)当2?x?log3时,(*)可化为9?a?3?3?1,即a?x?1,而x?1?,

a33911所以a?,此时要求?a?1?????????????????(15分)

991由⑴⑵⑶,得?a?1符合题意要求.

91 综合①②知,满足题意的a存在,且a的取值范围是?a?1????????(16分)

99

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