2013北京市昌平区高三期末数学理

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷（理工类） 2012.11

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. 1. 已知全集U??1,2,3,4,5,6?, 集合A??1,3,5?, B??1,2?, 则A?(eUB)等于（ ） ?A．? B．?5? C．?3? D．?3,5?

2. 已知数列?an?是各项均为正数的等比数列，若a2?2,2a3?a4?16，则an等于（ ）

A．2n?2

B．23?n C．2n?1 D．2n

3.已知平面向量a，b满足|a|?1，|b|?2，且(a?b)?a，则a与b的夹角为（ ）

A．

5?6 B．ex2?3 C．

?3 D．

?6

4.曲线f(x)?x?1在x?0处的切线方程为（ ）

B．x?y?1?0

C．2x?y?1?0

D．2x?y?1?0

A．x?y?1?0

??????????ABCBCAM?35.在中，M是的中点，，点P在AM上，且满足AP?2PM，则???????????? PA?(PB?PC)的值为（ ）

A．?4 B．?2 C．2 D．4 6.函数f(x)??A．1

??x?3,x?0,?x3,x?0的图象与函数g(x)?ln(x?1)的图象的交点个数是（ ）

C．3

D．4

B．2

7.函数f(x)是定义域为R的可导函数，且对任意实数x都有f(x)?f(2?x)成立．若当

4x?1时，不等式(x?1)?f?(x)?0成立，设a?f(0.5)，b?f()，c?f(3)，则a，b，

3c的大小关系是（ ）

A．b?a?c B．a?b?c C．c?b?a D．a?c?b

8.已知数列?an?是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数y?f(x)，若数列

?lnf(an)?为等差数列，则称函数f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在(0,??)上的如

下函数：

1

①f(x)?1x， ②f(x)?x2， ③f(x)?ex， ④f(x)?x，

则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）

A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合A?{x?R|x?2}，B =?x?R∣

12?2?6?,则A?B? .

x10.设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a5?a6?8,a9?a10?24，则公差d? ，

S10? .

11.已知角?的终边经过点(3a,4a)(a?0)，则sin?? ，tan(??2??? . ????????12. 在?ABC中，若BA?BC?4，?ABC的面积为2，则角B? .

?f(x)?1,?13. 已知函数y?f(x)满足：f(1)=a（0?a?1），且f(x?1)??f(x)?2f(x),?f(x)?1,f(x)?1,则

，若f(3)=f(2)= （用a表示）

1f(2)，则a? .

14.已知函数f(x)?xx.当x?[a,a?1]时，不等式f(x?2a)?4f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a?2,b?3,cosC? （Ⅰ）求△ABC的面积； （Ⅱ）求sin(C?A)的值． 16.（本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?1，an?1?3Sn?1，n?N?. （Ⅰ）写出a2,a3的值，并求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）记Tn为数列?nan?的前n项和，求Tn；

（Ⅲ）若数列?bn?满足b1?0，bn?bn?1?log2an(n?2)，求数列?bn?的通项公式.

2

13．

17.（本小题满分13分）

函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??2)部分图象如图所示．

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式，并写出其单调递增区间；

y（Ⅱ）设函数g(x)?f(x)?2cos2x，求函数g(x)在区间 2[???,]上的最大值和最小值． 64??318.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?2ax2?4x?3?a，a?R. （Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)在??1,1?上的最大值；

（Ⅱ）如果函数f(x)在区间??1,1?上存在零点，求a的取值范围. 19.（本小题满分14分）

设函数f(x)?alnx??x?2o?6x，a?R．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a?0时，若对任意x?0，不等式f(x)?2a成立，求a的取值范围； （Ⅲ）当a?0时，设x1?0，x2?0，试比较f(理由．

20.（本小题满分13分）

?给定一个n项的实数列a1,a2,?,an(n?N)，任意选取一个实数c，变换T(c)将数列

x1?x22)与

f(x1)?f(x2)2的大小并说明

a1,a2,?,an变换为数列|a1?c|,|a2?c|,?,|an?c|，再将得到的数列继续实施这样的变

换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k(k?N)次变换记为Tk(ck)，其中ck为第k次变换时选择的实数.如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1(c1)，T2(c2)，?，Tk(ck)为 “k次归零变换”.

（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k次归零变换”，其中k?4； （Ⅱ）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；

（Ⅲ）对于数列1,2,3,?,n，是否存在“n?1次归零变换”？请说明理由.

23n? 3

北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷答案（理工类） 2012.11

一、选择题： 题号 答案 题号 答案 （1） D （9） (?1,2] （2） C （10） 2 40 （3） B （4） D （5） A （12） 45? （6） C （13） 2a（7） A （8） C （14） (1,??) 二、填空题： （11） 24 45? 247或1 （注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为cosC?13，

所以sinC?1?cosC?12212221?()?． ?????????2分

3312?2?3?223?22． ?????????5分

所以，S?ABC?ab?sinC?（Ⅱ）由余弦定理可得，c2?a2?b2?2ab?cosC

?4?9?2?2?3?13

?9

所以，c?3． ????????????????7分 又由正弦定理得，

csinC?asinA，

所以，sinA?a?sinCc2??2233?429． ????????9分

因为a?b，所以A为锐角,

所以，cosA?1?sinA?21?(429)?279． ????????11分

所以，sin(C?A)?sinC?cosA?cosC?sinA

?232791349210????． ?????????????13分 227

4

16. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知得，a2?4，a3?16. ?????????????????2分

由题意，an?1?3Sn?1，则当n?2时，an?3Sn?1?1.

两式相减，得an?1?4an（n?2）. ?????????????????3分 又因为a1?1，a2?4，

a2a1?4，

所以数列?an?是以首项为1，公比为4的等比数列，

n?1所以数列?an?的通项公式是an?4（n?N?）. ????????????5分

2n?1（Ⅱ）因为Tn?a1?2a2?3a3???nan?1?2?4?3?4???n?4，

23n?1n所以4Tn?4?1?2?4?3?4???(n?1)?4?n?4， ????????6分

两式相减得，?3Tn?1?4?4???4整理得，Tn?3n?19?4?n2n?1?n?4?n1?4nn?n?4， ???8分

1?419 (n?N?). ????????????9分

（Ⅲ） 当n?2时，依题意得b2?b1?log2a2,b3?b2?log2a3,? , bn?bn?1?log2an.

相加得，bn?b1?log2a2?log2a3???log2an. ???????????12分

n?1依题意log2an?log24?2(n?1).

因为b1?0，所以bn?2?1?2???(n?1)??n(n?1)（n?2）. 显然当b1?0时，符合.

所以bn?n(n?1)(n?N?). ??????????????14分

17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得A?2，

T2?2?3??6??2，

所以T??，所以??2． ??????????????????????2分 当x??6时，f(x)?2，可得 2sin(2??2?6??)?2，

因为|?|?，所以???6． ?????????????????????4分

5

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