数学分析(华东师大版)(7)

dy33、求由y?3y?2xy?0所确定的隐函数的导数dx解：方程两边同时关于x求导，视y为x的函数，得

x?1y?1；

3yy??3?2y?2xy??0

2y??2y3?3y?2x

?n?2y?所以 4、y?sin2x?1y?1?23?3?2??1

x，求y；

解：y??2sinxcosx?sin2x

???y???2cos2x?2sin?2x??2? ?2???2y????2sin?2x??2? ?y?n?…………………

?2n?1(n?1)???sin?2x??2??

t?1?x?1?t2dy?25、?y?t?t，求dxdy及t?1时的切线方程；

解：dx?1?2t?2tt?1?1?12t

t?1dy? dx1????1??2t??y??12

12? 切线方程为

x

6、y?xlnx，求y解：

y??lnx?x?y???y?n??n?；

?4?1x?lnx?11x21x，

y?????n，

y?2x，

3y?5???3?2?1x4…………..

???1??n?2?!xn?1n?1

dy7、y?esin?2x?3?，求

dxx?32；

解：dy?esin?2x?3??2cos?2x?3?dx

dy2?2dx ?

2?x?t2?1dy?32y?2t?t?8、，求dx；

dxx?3dy解：dx ??2?3t2????2t?222dy??6t?2t?2?2?3t??12t?4?6t?3232t8tdx=8t==

3?2?3t2t29、求由曲线y?2x?x在点??1.?1?处的切线和法线方程；

2解：y??2?3x

?2?3??1

? 切线方程 y?1???x?1?

x??1y?? 法线方程 y?x

10、xy?lny?1，求M?1,1?处的切线与法线方程. 解：方程两边同时关于x求导，视y为x的函数，得

y?xy??1yyx??

? 切线方程

y??0

y??? 1y

y?1??y?12x?1y?1??12

?x?1?

? 法线方程 y?1?2?x?1?

五、证明题（每题5分）

1、 1、 设f?x?在x0可导，则f?x?在x0处必连续； 证：? f?x?在x0可导，?x?0?x?ylim?y?f??x0?

?f??x0???lim??0?x? ?x?0 ? ?y?f??x0??x???x

?

?x?0lim?y?0

f?x0??x??f?x0??x??x?x?limf?x0??x??f?x0???x? f?x?在x0处连续

?2、 2、 证明：若f?x0?存在，则?x?0lim?2f??x0?；

证：?x?0limf?x0??x??f?x0??x??x?limf?x0??x??f?x0??f?x0??f?x0??x??x?0=?x?0 ?

f?x?在x0可导，

limf?x0??x??f?x0??x?x?0? 上式=f??x0??f??x0??2f??x0?

3、 3、 设y?arctanx，证明它满足方程?1?x2?y???2xy??0；

证：?y??11?x22y????2x ，

?1?x?222，

?1?x?y???2xy???1?x? ?

?2x??2??1?x??2???2x?0?1?x2?

4、 4、 证明：f?x?在x0可微，则f?x?在x0可导； 证：? f?x?在x0可微，? ?A 使得 ?f?A?x?o??x?

?fo??x??x? ?x?

?x?0?A??f?x

lim?A 即f??x0??A

5、 5、 设??x?在a处连续，??a??0，f?x??x?a??x?，证明：f??a?存在；

????证：? fx?x?a?x ? f?a??0

f?x??f?a???x?af???a??lim?x?a?x?a??x??0x?af?x??f?a?x?a?x?a??x?x?a ?x?a???x?x?a?lim?x?alim???x???a?===0

x?a?

f???a??lim?x?af?x??f?a?x?a?lim?x?a?a?x???x?x?alim=x?a??x?=???a?=0

? f??a??0

1??g?x?sinf?x???x??0x?0x?06、 6、 设g?0??g??0??0，

f??0??limf?x??f?0?xlim，证明：f??0??0；

1x（?g?x?sin?limx?01x?0证： ?x?0x?g??0??0=x?0，

sin1limg?x??g?0?xsing?0??0）

g?x??g?0?xg??0??0 而x?01?3?xsinf?x???x??0x为有界量

? f??0??0

x?0x?01x7、 7、 设

，证明：f??x?在x?0连续；

1x

证： x?0时，

f??0??lim2f??x??3xsin?xcosxsinx?031xx?0?limxsinx?021x?0

11??2limf??x??lim?3xsin?xcos??0?f??0?x?0x?0xx??而

? f??x?在x?0连续

?x?1f?x????18、 8、 证明：

x?0x?0在x?0连续但不可导；

证：x?0lim?f?x?=x?0lim??x?1??1?f?0?

x?0lim?f?x??1?f?0?

(x?1)?1xx?0? f?x?在x?0处连续

又

f???0??lim?x?0f?x??f?0?xf?x??f?0?x?lim?x?0?1

f???0??lim?x?0?lim?x?01?1f???0??f???0? ? f??0?不存在，即f?x?在x?0处不可导

dfx

9、 9、 设f?x?为可导函数，证明：若x?1时，dx则必有f??1??0或f?1??1

dddx???2ddxf2?x?，

证：? dxfx???2f2?x? 即 2xf?x2??2f?x?f??x?

当x?1时，2f?1??2f?1?f??1? 得 f??1??f?1??1??0

? f??1??0 或 f?1??1

x?0?x??f?x???xsinx?0?x?10、，证明：f?x?在x?0连续但不可导.

证：x?0lim?f?x??lim?x?0?f?0?x?0，

x?0lim?f?x??lim??xsinx?0?x?0?f?0?

? f?x?在x?0处连续

f???0??lim?x?0f?x??f?0?xf?x??f?0?xxsin?lim?x?0?xx?1?0x?0又

?lim?sin?x不存在

f???0??lim?x?0?lim?x?0x?0x? f??0?不存在即f?x?在x?0处不可导。

一、单选题（每题2分）

1、下列函数中，在??1,1?上满足Rolle定理条件的是（） A、e B、

xlnx C、1?x D、

'21?11?x2

2、设f(x)在[0,??)内可导，且f(x)?0，又有f(0)?0则在[0,??)内，f(x)（） A、有唯一零点 B、至少存在一个零点 C、没有零点 D、不能确定有无零点 3、当x??1时，函数y?x?3px?1取极值，则p=（） A、0 B、-1 C、1 左 4、设f(x)在区间I可导，则?x?If(x)?0且使f(x)?0的点x仅是一些孤立点是

'3'函数f(x)在I上严格增加的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对

5、设f(x)在区间上可导，则?x?If(x)?0是f(x)在区间I上严格增加的（） A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对

6、函数f(x)在点x?c的某邻域存在二阶连续函数，则f??(c)?0是曲线y?f(x)有拐点

(c,f(c))的（）

'A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对

7、f(x)在区间I可导，则曲线y?f(x)位于它的任意一点的切线上方是f(x)在I上为凸函数的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不对 8、f(x)在x?x0取极大值，则f(x)在x?x0的导数必（） A、等于0 B、等于1 C、不存在 D、等于0或不存在 9、在（）内， f(x)?cosx严格凸

A、 D、(?,2?) 10、下列极限不能使用格林法则的是（）

2211?x(???,2 B、(0,?) C、2)(?3?,)xsinlim21xlimx3x D、x???A、x?1? B、x?0sinx C、x??[答案]

1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、C 8、D 9、C 10、B 二、判断题（每题2分）

limlnxlimxlnx?1x?1

1、设f(x)在(a,b)可导，x?af?(?)?0 （）

lim?f(x)?lim?f(x)?lx?ba,b为有限值，则必???(a,b)使

2、若f(x)在区间I上递减，则?f(x)在I上必有递增（） 3、函数f(x)的稳定点不一定是函数的极值点（） 4、函数的极值点一定是函数的稳定点（） 5、两个凸函数之和仍是凸函数（）

6、若f(x)在区间I是凹函数，则?f(x)在I上必为凸函数（） 7、单调函数的导函数也是单调函数（） 8、(0,0)是曲线y?x的拐点（） 9、递增函数总是无上界的（）

10、设f(x)在(a,b)可导，在a点和b点有定义，但不全连续，则使 f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立的??(a,b)一定不存在（） [答案]

1、√ 2、√ 3、√ 4、× 5、√ 6、√ 7、× 8、× 9、× 10、× 三、填空题（每题2分） 1、在区间I上，f?(x)?g?(x)x?I则f(x)与g(x)在I上的关系是

42、若f?(x)在(a,b)上处处为0，则f(x)= 3、设f(x)在区间I上有定义，若f(x)在x0可导，且x0是f(x)的极值点，

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