上海市重点中学数学重要考题精选及精解1(6)

是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由。

（文）已知函数y?f(x),x?R满足f(x?1)?af(x)，a是不为0的实常数。 （1）若当0?x?1时，f(x)?x(1?x)，求函数y?f(x),x??0,1?的值域； （2）在（1）的条件下，求函数y?f(x),x??n,n?1?,n?N的解析式；

（3）若当0?x?1时，f(x)?3x，试研究函数y?f(x)在区间?0,???上是否可能是单调

函数？

若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由。 4＇+6＇+8＇）（理）（1） a?1时，T=1,a?-1时，T=2 ；

（2）当n?x?n+1(n?0,n?Z)时,fn?x??afn?1?x?1??afn?1?x?2????af1?x?n?，

2n?fn?x??an?x?n??n?1?x?，??1n1na?fn(x)?a； 44当a?1时f?x?????，+??舍去；

当a?1时f?x???0，?符合,当a??1时f?x????，?符合；

444当0?a?1时f?x???0，?符合,当?1?a?0时f?x???0，?符合；

?1????11????1??4??1??4??a???1,0???0,1?。

（3）当n?x?n+1(n?0,n?Z)时,fn?x??afn?1?x?1??afn?1?x?2????af1?x?n?，

2n?fn(x)?an(3x?n?3n?x)；

易证函数fn(x)?an(3x?n?3n?x),x??n,n?1?,n?0,n?Z当a?0时是增函数， 此时?fn(x)??2a,??n10n?a?， 3?n?1若函数y?f(x)在区间?0，???上是是单调增函数，则必有2a?10n5a，解得：a?； 33显然当a?0时，函数y?f(x)在区间?0，???上不是单调函数； 所以a?5。 3

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（文）（1）?f(x)??(x?)2?121?1?,x??0,1?,?f(x)??0,?。 4?4?（2）当n?x?n+1(n?0,n?Z)时,

fn?x??afn?1?x?1??a2fn?1?x?2????anf1?x?n?， ?fn?x??an?x?n??n?1?x?。

（3）当n?x?n+1(n?0,n?Z)时,fn?x??afn?1?x?1??afn?1?x?2????af1?x?n?，

2n?fn(x)?an?3x?n；

显然fn(x)?an?3x?n,x??n,n?1?,n?0,n?Z当a?0时是增函数， 此时?fn(x)?an,3an，

若函数y?f(x)在区间?0，???上是是单调增函数，则必有an?1???3an，解得：a?3；

显然当a?0时，函数y?f(x)在区间?0，???上不是单调函数； 所以a?3。

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