§6.3 泰勒公式 数学分析课件(华师大_四版) 高教社ppt 华东师大(3)

§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒( Taylor,B. 1685-1731, 英国)麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

例1 验证下列公式

xx1.e?1???1!2!x2xn??o(x);n!?(?1)m?1nx2.sinx?x??3!x3.cosx?1??2!223x2m?o(x);(2m?1)!2m2m?1x2m?1?(?1)?o(x);(2m)!mxx4.ln(1?x)?x???23数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社3?(?1)n?1xn?o(x);nn§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

5.(1?x)?1??x???(??1)126.?1?x?x?1?x2!?(??1)?(??n?1)nnx?o(x);n!?x?o(x).nnx?2?以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公式), 请务必牢记.

下面验证1 和6, 其余请读者自己验证.

数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

验证1 因为f(k)(x)?e,所以

(n)xf(0)?f?(0)???f于是e的n阶麦克劳林公式为

x(0)?1.xxxne?1??????o(x).1!2!n!x2nxxxn1.e?1?????o(x);1!2!n!12nn6.?1?x?x??x?o(x).1?xx2n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

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1,则验证6 设g(x)?1?x2!1!??g(x)?,?,g?(x)?,32(1?x)(1?x)g(n)故

n!(x)?,n?1(1?x)?n?g(0)?1,g?(0)?1!,g??(0)?2!,?,g(0)?n!.1于是在x?0的n阶麦克劳林公式为1?x12nn?1?x?x???x?o(x).1?x数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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