2013年北京昌平区高三二模理科数学试题(3)

?1?2a(1?lna)?0,??a?e112??e?a?e. ∴?f(1)??0, 即?，此时，1222a?e???212?f(e)?e?a?0,?2?所以，a的取值范围为(e,12e).…………………………………………………………..13分 2（19）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意可知，A(?a,0), B(a,0)，F(?c,0)， AFgBF?(a?c)(a?c)?1

?a2?c2?b2?1

c2a2?b2a2?1332?2? ，解得a2?4 又e?， e?2?2aaa42x2?y2?1…………………………5分 所求椭圆方程为4 （Ⅱ）设P(x0,y0)，则Q(x0,2y0)(x0?2,x0??2)

由A(?2,0),得kAQ?2y0 x0?22y0(x?2) x0?2所以直线AQ方程y?由B(?2,0),得直线l的方程为x?2,

?M(2,8y04y0) ?N(2,) x0?2x0?2 由 kNQ4y0?2y0x0?22xy??200

2?x0x0?422又点P的坐标满足椭圆方程得到：x0+4y0?4 ，

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所以 x02?4??4y02 kNQ?2x0y02x0y0x0 ???x02?4?4y022y0x0(x?x0) 2y0 ?直线NQ的方程：y?2y0??化简整理得到：x0x?2yy0?x02?4y02?4 即x0x?2yy0?4 所以点O到直线NQ的距离d?4x0+4y022?2?圆O的半径

?直线NQ与AB为直径的圆O相切.……………………………………. 13分

（20）（本小题满分14分）

解：（I）当k?0，b?3，p??4时，

3(a1?an)?4?2(a1?a2??an)， ①

用n?1去代n得，3(a1?an?1)?4?2(a1?a2??an?an?1)， ②

②—①得，3(an?1?an)?2an?1，an?1?3an，???????????2分 在①中令n?1得，a1?1，则an?0，∴

an?1?3， an∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，

3n?1∴a1?a2?a3???an=???????????????????.4分

2（II）当k?1，b?0，p?0时，n(a1?an)?2(a1?a2??an)， ③ 用n?1去代n得，(n?1)(a1?an?1)?2(a1?a2??an?an?1)， ④

④—③得， (n?1)an?1?nan?a1?0， ⑤. 用n?1去代n得，nan?2?(n?1)an?1?a1?0， ⑥

⑥—⑤得，nan?2?2nan?1?nan?0，即an?2?an?1?an?1?an，. ∴数列{an}是等差数列.∵a3?3，a9?15，

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∴公差d?a9?a3?2，∴an?2n?3????????????????9分 9?3（III）由（II）知数列{an}是等差数列，∵a2?a1?2，∴an?a1?2(n?1). 又?an?是“封闭数列”，得：对任意m,n?N*，必存在p?N*使

a1?2(n?1)?a1?2(m?1)?a1?2(p?1)，

得a1?2(p?m?n?1)，故a1是偶数， ············· 10分 又由已知，

18181111?a1?12.一方面，当?a1?12时，，故??111112S118?0，对任意n?N*，都有Sn?n(n?1a?1)111111???????. S1S2S3SnS112另一方面，当a1?2时，Sn?n(n?1)，则

11111， ??????1?S1S2S3Snn?1111， ??Snnn?1取n?2，则

111211??1???，不合题意. S1S233181111?(?)，则 Sn3nn?3当a1?4时，Sn?n(n?3)，

111111111111， ???????(??)?S1S2S3Sn183n?1n?2n?318当a1?6时，Sn?n(n?a1?1)?n(n?3)，

1111?(?)， Sn3nn?3111111111111???????(??)?， S1S2S3Sn183n?1n?2n?318又

18?a1?12，∴a1?4或a1?6或a1?8或a1?10?????????.14分 11

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