2009-2010(1)高等数学(上)试题A及参考答案

重庆三峡学院2009 至 2010学年度第 1 期

高等数学（1） 课程考试试题册（A）

试题使用对象 ：2009级理工科各专业本科学生

命题人：向瑞银 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷

说明：1.答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整.

2.考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废.

一. 填空题（每小题3分，本题15分）. 1. lim(xsinx??1x?1xsinx)=（ ）.

2. 微分 d?ex?tanxf(x)dx＝（ ）.

3. 曲线y?e?x在点（0，1）处的切线方程是（ ）.

14.设连续函数f(x)满足：f(x)= x?x?02f(x)dx，则f(x)=（ ）.

5. 微分方程

d2y2dx?2dydx?5y?0的通解为（ ）.

二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）. 1. limx?0sin3xln(1?3x)?（ ）. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 3

2.下列广义积分收敛的是（ ）. A.

???????0sinxdx B.

?0e?2xdx C.

?01xdx D.

???01xdx

3.下列变量中，（ ）是无穷小量. A. lnx(x?1) B. ln???1x(x?0) C. cosx (x?0) D.

?x?2x2?4(x?2)

4. 定积分?x2sinx2dx?（ ）. A. 2 B. -1 C. 0 D. 1

dydxx?01?xx5．已知y?f(e),f?(x)?1?x,则=（ ）.

A. 1 B. e C. 2 D. 0 三.计算题（每小题7分，本题共49分）. 1. 求极限 lim(x?01x2?1xtanx).

??(1?btanx)cotxx?0?2. 设f(x)?? x?0 在x?0处连续，求a,b的值. 2?x?0arcsinax?x?3. 已知??x?a(sint?tcost)?y?a(cost?tsint)?2?，求 dy 在 t? 处的值.

dx224. 计算积分 ?sinx?sin3xdx.

05. 计算积分 ?xex2(1?x)dx.

?6. 已知f(?)?1，?(f(x)?f??(x))sinxdx?3，求f(0).

07. 求解微分方程

dydx?yx?sinxx，yx???1.

四. 应用题（本题10分）.

设抛物线y?ax?bx?c通过点(0,0)，且当x?[0,1]时，y?0. 试确定a,b,c的值，使得该抛物线与直线x?1,y?0所围图形的面积为

492，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小.

五. 证明题（1小题5分，2小题6分，本题共11分）.

1. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0. 证明：至少有一点 ??(a,b)，使得f(?)??f?(?)?0. 2. （1）设x?0，证明：ln(1?1x)?11?x1xx.

（2）证明：当x?1时，函数y?(1?

)单调递增.

重庆三峡学院 2009 至 2010 学年度第 1 期

高等数学（上）课程考试试题(A)参考答案

一. 填空题（每小题3分，本题15分）.

1. 1 2. e?tanxf(x)dx 3. y?1 4. x?3x

24 5. y?ex(acos2x?bsin2x)，a,b为任意常数. 二. 单项选择题（每小题3分，本题15分）.

1.B 2. B 3. A 4. C 5. D 三.计算题（每小题7分，本题共49分）. 1.解： lim(1?limtanx?xx?0x2?1xtanx)x?0x2tanx 2 ?limtanx?xxx?0x3lim 4x?0tanx2 ?limsecx?1tan21x?03x2?limxx?03x2?3 712. limf(x)?lim(1?btanx)tanxb x?0?x?0??e limf(x)?limarcsinax x?0?x?0?x?a 因为 f(x)在x?0处连续, 所以limf(x)?limf(x)?f(0)x?0?x?0? 即 eb?a?2 ， 所以 a?2,b?ln 3.

dydt?a(?sint?sint?tcost)?atcost

dxdt?a(cost?cost?tsint)?atsint dydx?atcostatsint?cott 2?(cott)?2

dy x?(t)??csct1 dx2atsint??atsin3 t所以

d2y2 dx2? t???2a??4. 解：原式 ??(sinx)1/2cosxdx 0?/2???(sinx)1/2cosxdx??(sinx)1/2(?cosx)dx 0?/2

分

分

分

２分

４分

7分

2分

4分

6分

7分 2分

5分

?23(sinx)3/2?/20?23(sinx)3/2??/2?43 7分

5.

?xexdx???xed2x1 2分 ??(xex??1d(xex) )

(1?x)1?x1?x1?xx??(xe?xex1?x??ex1?xdx) 6分

??xexxexx1?x??edx??x1?x?ex?c?e1?x?c 7分

6. ??(f(x)?f??(x))sinxdx??0?f(x)sinxdx??0?f??(x)sinxdx0 （1） 而

???f??(x)sinxdx?sinxdf?(x)0?0

??f?(x)sinx?0??f?(x)dsinx0

????f?(x)cosxdx????cosxdf(x)00

???(f(x)cosx?0??f(x)dcosx)

0???(f(?)cos??f(0)cos0)??f(x)(?sinx)dx0

?f(?)?f(0)???f(x)sinxdx0 （2） 6分

把（2），f(?)1?代入（1），原式为 3?1?f(0)，得f(0)?2 7分

7. 解：对于

dy?y

dy，

dxx?0， 分离变量 y??dxx 积分得lny??lnx?cc1， y?x 3分

令 y?u(x)u?(x)sinxx，则

?(x)?sinxx?x，u，

积分得u(x)?c?cosx，方程通解 y?c?cosx，

x代入x??,y?1，解出 c???1， 特解 y???1?cosx. 7分

x四. 应用题（本题10分）.

1. 解：y?ax2?bx?c通过点(0,0)，得c?0，所以y?ax2?bx. 1分

抛物线与直线1x?1,y?0所围图形的面积为S??(ax2?bx)dx0

分

1?(13ax?312bx)210 ?a3?b2?49，b?8?6a91 (1) 4分

2图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V??????(1?0(ax?bx)dx

2?150(ax2524?2abx43?bx)dx

31022ax?22abx4?13bx)22

a8?6a2918?6a2())39??(a52?ab24a?b231)??(a5??

??(?1352a?81?482() ) 39) (2) 7 分

V?(x)??(4a135, 令V?(x)?0，得

81a??13581??53，从而b?2. 10分

五. 证明题（1小题5分，2小题6分，本题共11分）.

1. 证明：F(x)?xf(x)， 2分 由题意F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内 可导， F?(x)?f(x)?xf?(x)，F(a)?F(b)?0. 由罗尔定理知，至少存在一点??(a,b)， 使F?(?)?f(?)??f?(?)?0. …5分

2. 证明：（1）令f(x)?lnx，当x?0时，显然f(x)在[x,1?x]上连续，在(x,1?x)上可导，

f?(x)?1x，由Lagrange中值定理知，存在??(x,1?x)，使得

1xln(1?x)?lnx(1?x)?x111?xln(1?)???? 3分

（2）令y?(1?1y1x1x)，则lny?x[ln(1?x)?lnx]，方程两边同时对x求导

11?x1xx y??ln(1?)?x(?)，y??y(ln(1?1x)?11?x)

由（1）知，y??0，y?(1?

1x)单调递增. 6分

x

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