西北师范大学2005年研究生入学数学分析试题(2)

?而级数?n?11n2?收敛,根据M---判别法知:级数?ane?nx在[?,??)上一致收敛;

n?1`⑵由于liman?a?0,因此?N0,使得当n?N0时,有an?n??a2?0.

因为??0?a6?0,?N,?n?N?N0?N,?x??a2e1n?(0,??),使得

ane?nx??ane?nx???1e?a6??0.

或supane?nx?supx?(0,??)x?(0,??)?a?nxn??an?a?0,n??.

?所以ane?nx在(0,??)内非一致收敛于0,故级数?ane?nx在(0,??)内非一致收敛.

n?1`注1:fn(x) 在(0,??)内非一致收敛于0的定义:??0?0,?N,?n?N,?x??(0,??),使得

fn(x)??0.

注2:fn(x) 在(0,??)内非一致收敛于0?limsupx02n??x?(0,??)fn(x)?0.

?⑶?x0?(0,??),取??,则??0且x0?(?,??).因为?ane?nx在[?,??)上一致收敛,

n?1`?且每一项ane??nx都在[?,??)上连续,所以和函数f(x)??an?1`ne?nx在[?,??)上连续.特别函

?n数f(x)??an?1`e?nx在x0处连续,由x0?(0,??)的任意性知函数f(x)??an?1`ne?nx在

(0,??)内连续.

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