题及解2010级微积分（下）期末试题

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………密………封………线………以………内………答………题………无………效……

电子科技大学2010 --2011 学年第 2 学期期 末 考试试卷

课程名称：__微积分__考试形式： 笔试 考试日期：20 11 年7 月 5 日 考试时长：_120_分钟 课程成绩构成：平时 20 %， 期中 20 %， 实验 0 %， 期末 60 % 本试卷试题由__六___部分构成，共__4__页。

题号 得分 得 分 一、选择题（共15分，共 5题，每题3分）

1．两个偏导数fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)可微的 ……… （ B ）. ( A ) 充分条件； ( B ) 必要条件； ( C ) 充分必要条件； （D）既非充分又非必要条件.

2. 函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]?x?g(y)确定，g(y)?0可微，则

( A ) ?一 二 三 四 五 六 合计 ?f? …………… (A ) ?u?vg?(v)g?(v)u?； ( B ) ; ( C ) ; （D）0. 222[g(v)][g(v)][g(v)]3．微分方程y???2y??5y?e?xsin2x的特解形式 y?? …………………………… ( D ) （A）Ae?xsin2x; （B）e?x(Asin2x?Bcos2x); sin2x （D）xe?x(Asin2x?Bcos2x)..

（C）Axe?x4. 设S,是z?x2?y2(0?z?1)的部分，则

??(1?xS2?y2?z2)dS? …………………( C ).

（A）?; （B）??; （C）2?； （D）?2?.

??x??,x?[??,0)?5．设f(x)??以2?为周期，则f(x)的傅里叶级数在x?0处收敛于… ( D ). ?x?,x?[ 0,?)??2（A）0; （B）

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??? ; （C）? ; （D）? ; 434

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得 分

二、填空题（共15分，共 5题，每题3分）

1．设u?xyz,则 du|(1,2,2)?_____________. 4dx?dz

??111??ux2y2z232．设u(x,y,z)?1???,单位向量n??,,?,則 ?_____________.|?n(1,2,3)612183?333?3．微分方程y(4)?2y????2y???0的通解为y?__________________.C1?C2x?e?x(C3cosx?C4sinx) 4．将二次积分I??dx? 0 2 2x?x2 ?2x?x2f(x,y) dy化为极坐标系下先对r后对?的二次积分

I?____________ .?2 ?2 ??2d?? 2cos? 0f(rcos?,rsin?) rdr

y25．设L为为橢圆x??1,其周长记为a，则曲线积分?(2x2?xy?y2) ds?____________..2a ?L2

得 分 三、计算题（共20分）

1．（10分）求函数f(x,y)?y3?x2?6x?12y?5的极值.

[解] ??fx??2x?6??2(x?3)?0?驻点(3,?2);(3,2); ② 2f?3y?12?3(y?2)(y?2)?0?y??fxx??2, fxy?0, fyy?6y ①

在(3,?2)处，A?fxx(3,?2)??2, B?fxy(3,?2)?0, C?fyy(3,?2)??12,①

AC?B2?24?0?存在极值 ②；A?0?有极大值 f(3,?2)?30； ①

在(3,2)处，A?fxx(3,2)??2, B?fxy(3,2)?0, C?fyy(3,2)?12, ①

AC?B2??24?0?无极值. ②

?x2n12．（10分）求幂级数?的收敛域 (含端点)与和函数，并求级数?的和 nn?1(2n?1)2n?12n?1??x2nx2n?1?x S1(x)① [解] 收敛域为[?1,1) ②， 令S(x)?? ?x?n?12n?1n?12n?1? S1?(x)??x2n?2??(x2)n?1??(x2)n?n?1n?1n?0???1② 1?x2第 2 页 共 4 页

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S1(x)?S1(x)?S1(0)??S1?(t)dt??0x111?x ② dt?ln01?t221?xx S(x)?xS1x(?)?x1?xln① 21?x112?S()?ln(2?1) ② ?n(2n?1)222n?1 得 分 四、计算题（共18分）

1．（9分）设L为圆周(x?1)2?y2?2(逆时针方向),计算曲线积分

(x?y)dx?(x?y)dy 22?? Lx?y?Qy2?x2?2xy?P[解] ,③ ??222?x(x?y)?y作充分小的圆周L?:x2?y2??2 (顺时针方向)：使其全部含于L中, ① 在以L与L?为边界的区域D1上，使用格林公式得

??Q?P?(x?y)dx?(x?y)dy????dxdy?0,② ?? L?L???x2?y2?x?y?D1?即 ??????0??? L L?(x?y)dx?(x?y)dy(x?y)dx?(x?y)dy?① ?2222?? L L?x?yx?y ?1?2???(x?y)dx?(x?y)dy? L?1?[1?(?1)]dxdy?2??D?2?2???2?② 22．（9分）设S为柱面x?z?a(x?0)被平面 y?0 与 y?h 所截下部分的外侧,计算曲面积分

222??xyz dxdy

S[解1] 将S分成S1与S2,S1:z?a2?x2(上侧),S2:z??a2?x2(下侧),

S1与S2在xOy面上的投影区域为Dxy:0?x?a,0?y?h,故

??xyz dxdy???xyz dxdy???xyz dxdy

SS1S2???xya2?x2 dxdy???xy(?a2?x2) dxdy?2??xya2?x2 dxdy

DxyS2Dxy第 3 页 共 4 页

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1?2?xa?x dx?ydy?a3h2

003?22[解2] S:x?a?z(前侧),法向量为n?(1,?xy.?xz)?(1,0,a22hza?z22),

22??xyz dxdy???(0,0,yza?z)?(1,0,SDyzza?z22) dydz

?z????yza2?z2?a2?z2Dyz?1??y dy?z2dz?a3h2. 0?a3ha?2? dydz???yz dydz ?Dyz[解3] 作辅助平面 S1:x?0(0 ,?y?h,?a?z?取后侧a) S2:y?0 (0?x?a2?z2) 取左侧, S3:y?h (0?x?a2?z2) 取右侧,

S?S?S?S???xyz dxdy????xydV??xdx?ydy?V00aha2?x2?a123222dz?hxa?xdx?ha ?0a2?x23

dxd?y??xyz dxdy?0, ??xyzS1S20 dxd?y0 ,??xyz ,S3??xyz dxdy?S?n?1132???? ah ?????????3S?S1?S2?S3S1S2S3n?(2n?1)2 得 分 1?S(11)?ln(1?2) ① 22五、应用題（共18分）

?x2?y2?z2?6 1．（9分）求曲线?在点(1,1,2)处的切线与法平面方程. 22z?x?y?[解] 两方程对x求导得 ??yy??z?z?x?2x?2y?y?2z?z?0??? ③

????z?2x?2yy2y?y?z?2x??x 解得 y???, z ?? 0①

y在点(1,1,2)处的切向量为s(1,1,2)?(1,y?,z?)(1,1,2)?(1,?,0)(1,1,2)?xy?(1,?1,0) ②

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?x?1y?1?x?1y?1z?2?在点(1,1,2)处的切线方程: ?? 或 ?1?1, ②

1?10??z?2?0法平面方程: (x?1)?(y?1)?0?x?y?0 ①

2．（9分）设有一半径为R的球体, P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(设比例系数为1)，求球体的质量.

[解1] 设球体为?，建立坐标系，以球心为原点O，射线为x轴的正向，則点P0的坐标为(R,0,0)，球靣的方程为x2?y2?z2?R2，任一点的密度为?(x,y,z)?(x?R)2?y2?z2.

M????[(x?R)2?y2?z2]dV????(x2?2xR?R2?y2?z2)dV③

??????(x2?y2?z2)dV?R2???dV①

??2??R4??d??sin?d???2??2d? ?R2??R3③ 00034432??R5??R5??R5② 5315O，球体在xOy面的上方，x轴的正向通过球[解2] 设球体为?，建立坐标系，以定点P0为原点

)球靣的方程为x2?y2?(z?R)2?R2心，則点P，，任一点的密度为0的坐标为(0,0,0. ?(x,y,z?)2x?2y?2zM?????(x?y?z)dV ③ ??222?2??0d??2sin?d??02Rcos?0?2??2d? ②

??R

得 分 5?20sin?cos5?d? ② ?325?R② 15六、证明題（共14分）

zz?z?z1．（7分）设F(x?,y?)?0确定函数z?z(x,y),F(u,v)具有一阶连续偏导数,求 x?y.

yx?x?y[解] Fx?F1?F2(?z11zF?F(?)?F,F?F?F, ① ① ① ),z12y1222yxyx第 5 页 共 4 页

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zzF?FF22122FFx?z?zyyx ① ① ????????1111?xFz?yFzF1?F2F1?F2yxyxF1?zzyF2?F1xF1?F2?xy(xF1?yF2)?z(xF1?yF2)?z?zyxx?y?????z?xy ②

1111?x?yxF1?yF2F1?F2F1?F2yxyx??a?12．（7分）设正项数列?an?单调增加,且级数?(?1)n发散, 证明：级数??n?收敛.

ann?1n?1?1?an??n[证] 因正项数列?an?单增，故??1??单减有下界0，① a?n?由单调有界定理知即lim

1

存在，①

n??an

设lim?11?a?0, 因级数?(?1)n发散, 故由莱不尼兹判别法知a?0,①

n??aann?1n?an11?1????1②， 故??因 ?收敛，① 1a?11?ana?1??n?1?1ann?a?故由的比较判敛法知 ??n? 收敛. ①

n?1?1?an??n

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