专题4-万有引力定律全面提高(2)

为了用初等数学方法计算第二宇宙速度，设想从地球表面至无穷远处的距离分成无数小段ab、bc、?，等分点对应的半径为r1、r2?，如下图所示．

由于每一小段ab、bc、cd?极小，这一小段上的引力可以认为不变．因此把卫星从地表a送到b时，外力克服引力做功

W1?GMmR2(r1?R)?GMmR?r1(r1?R)?GMm(1R?1r1)

同理，卫星从地表移到无穷远过程中，各小段上外力做的功分别为

W2?GMm(W3?GMm(1r11r21rn?11rn???1r21r3) )

?

Wn?GMm(W??GMm(?1rn1r?)

)

MmR把卫星送至无穷远处所做的总功 W?W1?W2?W3???Wn?W??G为了挣脱地球的引力卫星必须具有的动能为

2GMR12mv22

?W?GMmR

所以v2??2gR?11.2km/s

第三宇宙速度的推算

脱离太阳引力的速度称为第三宇宙速度．因为地球绕太阳运行的速度为v地＝30km/s，根据推导第二宇宙速度得到的脱离引力束缚的速度等于在引力作用下环绕速度的2倍，即2v地?2?30km/s?42.4km/s

因为人造天体是在地球上，所以只要沿地球运动轨道的方向增加△v＝12.4km／s即可，即需增加动能

E?12122m(?v)．所以人造天体需具有的总能量为 12m(?v)22mv2??12mv3

2得第三宇宙速度v3?16.7km/s

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