2016届高考数学大一轮复习 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间

课时提升练(三十七) 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC 【解析】 由公理1知，命题A正确．

对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确．

对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC， 当二面角A-BC-D的大小变化时，

AD与BC不一定相等，故不正确．

对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE. 根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE， 从而AD⊥BC.故D正确． 【答案】 C

2．(2015·天水模拟)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( ) A．平行 C．垂直

B．相交 D．异面

【解析】 直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错；l?α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错；无论以上哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.

【答案】 C

3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

【解析】 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．

对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过点P且与l，m的公垂线段平行或重合的那一条直线．

1

对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条． 对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条． 【答案】 B

4．(2015·石家庄模拟)如图7-3-9所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，

CFCG2

AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则( )

CBCD3

图7-3-9

A．EF与GH平行 B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

【解析】 EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上．

【答案】 D

5．(2014·珠海一中等六校联考)如图7-3-10，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，黑白

图7-3-10

二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”．白蚁爬行的路线是

AA1→A1D1→?，黑蚁爬行的路线是AB→BB1→?，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段

所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i∈N)．设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( )

A．1 B.2 C.3 D．0

【解析】 由已知与图可知，白蚁“走完六段”后，又回到A点，故走完2014段后，停留的点为C点，同理，黑蚁最后停留的点为D1点，所以此时黑白蚁的距离为CD1＝2.

*

2

【答案】 B

6．如图7-3-11，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，

A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )

图7-3-11

A.5 5

B.25

5

1C. 2

D．2

【解析】 如图，取AC中点G，连FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；

EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos

∠EFG＝＝12

FGFE2

25＝.

55

【答案】 B 二、填空题

7．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

【解析】 设这四个点分别为A，B，C，D，若点D在点A，B，C所确定的平面内，则此时A，B，C，D四点共面；若点D不在点A，B，C所确定的平面内，则这四点能确定4个平面，综上所述，这四点能确定1个或4个平面．

【答案】 1或4

8．如图7-3-12为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．

图7-3-12

【解析】 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原

3

正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

【答案】 3

9．如图7-3-13所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．

图7-3-13

【解析】 ∵A′C′∥AC， ∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC. ∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′， ∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B， ∴OC⊥平面ABO.

又OA?平面ABO，∴OC⊥OA. 在Rt△AOC中，OC＝

2

，AC＝2， 2

OC1

sin∠OAC＝＝，

AC2

∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°. 【答案】 30° 三、解答题

10．如图7-3-14所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

图7-3-14

【解】 取AC中点F，连EF，BF，则EF∥DC， ∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角(或其补角)． ∵DA＝1，BC＝2，AB＝AC. ∴DC＝2，

4

∴EF＝

2. 2

在△BEF中，

BE＝BF＝

5?1?22

1＋??＝，

?2?2

由余弦定理得

EB2＋EF2－BF2

cos∠BEF＝ 2EB·EF＝

?5?2?2?2?5?2??＋??－???2??2??2?

522××

2210， 10

＝

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为

10. 10

11．(2014·许昌调研)如图7-3-15所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边11

形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的

22中点．

图7-3-15

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 【解】 (1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD， 11

所以GH綊AD.又BC綊AD，

22故GH綊BC.

所以四边形BCHG是平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面． 理由如下：

1

由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF綊BG.

2由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．

5

又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．

12．已知四面体A-BCD的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，求a的取值范围．

【解】 如图所示，AB＝2，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则

ED＝AD2－AE2＝

22

，同理EC＝，由构成三角形的条件知：0＜a＜ED＋EC＝2，∴0＜a22

＜2.

6

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