安徽省宿州市2013届高三第一次教学质量检查数学文试题（word版）(2)

21．（本小题满分14分）

x2已知函数f(x)?,(k，b?N*)，满足f(2)?2，f(3)?2.

kx?b(1)求k，b的值；

(2)若各项为正的数列?an?的前n项和为Sn，且有4Sn?f(?1)??1，设bn?a2n，求数列an?n?bn?的前n项和Tn；

(3)在(2)的条件下，证明：ln(1?bn)?bn.

数学试题答案 （文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 B 6 A 7 A 8 D 9 C 10 B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.[0，1] 12.3 13.22 14.2036 15.③⑤

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解：（1）∵向量m?(cos2A2，cosA2?1)，向量n?(1，cosA2?1)，且2m?n??1.

∴cos2AA1?sin2??， ?????????????????????????3分 22212，又A?(0，?)，所以A??. ????????????????5分 23112?bcsinA?bcsin?3，∴bc?4. ????????????7分 223222得cosA??（2）S?ABC?又由余弦定理得：a?b?c?2bccos2??b2?c2?bc.???????????9分 3∴16?(b?c)2，所以b?c?4. ??????????????????????12分 17．（本小题满分12分）

60)之间的频数为2. 解：(1)由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频率为0.008?10?0.08. 由频率分布直方图知，分数在[50，所以，参赛总人数为

频率 组距 2?25(人)．?????????2分 0.080．04 0．028 0．00．016 08 90)之间的人数为25?2?7?10?2?4（人）, 分数在[80，90)之间的频率为分数在[80，4?0.16， 2550 60 70 80 90 100

分数

90)间矩形的高为得频率分布直方图中[80，0.16?0.016.???4分 10完成直方图，如图.?????????????????????????????6分

90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；(2)将[80，[90,100]之间的2个分数编号为5和6.则在

2),(1，3),(1，4),(1，5),(1，6),(2，3),(2，4),(2，5),(2，6), [80，100]之间任取两份的基本事件为：(1，(3，4),(3，5),(3，6),(4，5),(4，6),(5，6)共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件

5),(1，6),(2，5),(2，6),(3，5),(3，6),(4，5),(4，6),(5，6)共9个. ?????????10分 为:(1，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是18．（本小题满分12分）

解：(1)f'(x)?3x2?9x?6, x?（1，5].

法一：f'(x)?m在（1，5]恒成立?m?3x2?9x?6在（1，5]恒成立.???????3分 由f'(x)?3x?9x?6?3(x?)?所以,得m??293?.??????????????12分 15532233?在的最小值为， （1，5]4433，即m的最大值为?. ???????????????????6分 442法二：令g?x??3x?9x?6?m，x?（1，5].

要使f'(x)?m在（1，5]恒成立，则只需g?x??0在（1，5]恒成立. 由于y?g?x?的对称轴为x?解得m??332727??6?m?0， ,当x?（1，5]时，g(x)min?g()?242233，所以m的最大值为?.????????????????????6分 44(2)因为当x?1时, f'(x)?0；当1?x?2时, f'(x)?0；当x?2时, f'(x)?0； 即y?f(x)在(??,1)和(2,??)单增，在(1,2)单减.

所以f(x)极大值=f(1)?5?a，f(x)极小值=f(2)?2?a.????????????9分

2

故当f(2)?0或f(1)?0时,方程f(x)?0仅有一个实根. 得a?2或a?5时，方程f(x)?0仅有一个实根. 25(,??).????????????????????????12分 219．（本小题满分13分）

E 证明：（1）∵AD?平面ABE，且AD//BC

∴BC?平面ABE，则BC?AE.???????????????2分 M G A 又∵BF?平面ACE，则BF?AE，且BF与BC交于B点，

F N ∴AE?平面BCE，又BE?平面BCE ∴AE?BE.??????4分

所以a?(??,2)（2）由第（1）问得?AEB为等腰直角三角形，易求得AB边上的高为2，

D ∴VD?AEC?VE?ADC?B C 14?22?2?.???????????????????7分 33（3）在三角形ABE中过M点作MG//AE交BE于G点，在三角形BEC中过G点作

GN//BC交EC于N点，连MN. 由比例关系易得CN?1CE.????????????????????????9分 3∵MG//AE，MG?平面ADE,AE?平面ADE，

∴MG//平面ADE. 同理，GN//平面ADE，且MG与GN交于G点， ∴平面MGN//平面ADE.????????????????????????11分 又MN?平面MGN， ∴MN//平面ADE.

∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.????????????????13分 20．（本小题满分12分） 解：(1)设F1(?c,0)、F2(c,0)(c?0)，因为PF2?F1F2，

所以(a?c)2?b2?2c. ?????????????????????????2分

c2ccc1整理得2()??1?0，得??1(舍)，或?.

aaaa21所以e?.????????????????????????????????4分

2(2)由(1)知a?2c,b?3c，椭圆方程3x2?4y2?12c2，PF2的方程为y?3(x?c)．

222??3x?4y?12cA,B两点的坐标满足方程组?，消去y并整理，得5x2?8cx?0.

??y?3(x?c)?x2?8c?x1?058?.?????????7分 解得x1?0,x2?c.得方程组的解?，?5y??3c33?1?y2?c?5不妨设A(8c,33c),B(0,?3c)，则AB?55(8c)2?(33c?3c)2?16c. 555于是MN?5AB?2c. 8?3?3?3c32?c.??????10分

?22圆心(?1,3)到直线PF2的距离d?因为d2?(得c??3MN22(2?c)2?c2?16，整理得7c2?12c?52?0. ，所以)?42426 (舍)，或c?2. 7x2y2所以椭圆方程为??1. ???????????????????????12分

161221．（本小题满分14分）

4?f(2)??2??2k?b?2?①?2k?b??解：(1)由 ?，

96k?2b?9?②??f(3)??2?3k?b?5，且k?N*.????????????????????2分 2当k?2时，b?2（成立），当k?1时，b?0（舍去）.

所以k?2，b?2.????????????????????????????4分

由①代入②可得k?1an21??1，即2Sn?an2?an?③. (2)4Sn?f(?)?4Sn?2an??2ann?2时， 2Sn?1?an?12?an?1?④.

所以，当n?2时，由③-④可得2an?(an?an?1)?(an?an?1)，

22

整理得，(an?an?1)(an?an?1?1)?0. 又

an?0得an?an?1?1，且a1?1，

n所以?an?是首项为1，公差为1的等差数列，即an?n，bn?2.

?nbn?n?2n. ??????????????????????????????7分 Tn?1?21?2?22?3?23?????(n?1)?2n?1?n?2n， 2Tn?1?22?2?23?3?24?????(n?1)?2n?n?2n?1，

由上两式相减得 ?Tn?2?2?2?????2?n?2123nn?12(1?2n)??n?2n?1.

1?2?Tn?(n?1)2n?1?2. ??????????????????????????10分

(3)由(2)知bn?2，只需证ln(1?2n)?2n.设f(x)?ln(1?2x)?2x(x?1且x?R).

n2xln22xln2x则f'(x)??2ln2??(?2x)?0， xx1?21?2可知f(x)在[1,??)上是递减，?f(x)max?f(1)?ln3?2?0. 由x?N*，则f(n)?f(1)?0，

故ln(1?bn)?bn. ????????????????????????????14分

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