直角三角形的存在性问题

直角三角形的存在性问题

1.（2008年卢湾区第24题）在坐标平面xOy中（如图1），已知抛物线y?ax?与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝2OA．

（1）求这个抛物线的函数解析式； （2）求点A到直线BC的距离；

（3）将△ABC沿直线AC翻折，使点B落到点B′，连结BB′，点Q是BB′的中点，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP是以QC为直角边的直角三角形，如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．

2.（2010年浦东新区第24题）如图2，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数y?（1）求点P的坐标；

（2）如果二次函数的图像经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；

（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y轴交于点C，过该函数图像上的点C、点P的直线与x轴交于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小，并说明理由．

211ax?6a?a?0?22(x?0)图像上的一点，且△ABP是直角三角形． x

图1 图2

【满分攻略】

上海中考很少考到直角三角形的存在性问题，偶有区县在模拟考中训练一下．

借第1题（2008年卢湾区第24题），我讲一个重要的策略，就是数形结合思想的典型应用：我们可以用函数的解析式表示图像上点的坐标，用点的坐标可以表示点到坐标轴的距离．

11x?3，那么抛物线上点P的坐标可以设为4111111(x,?x2?x?3)．在图4中，点P到x轴的距离可以表示为?x2?x?3，在图5中，点P到x轴

2424111的距离可以表示为?(?x2?x?3)，点P到y轴的距离可以用x表示．

24如图4，图5，二次函数的解析式为y??x2?我们先解完这道题，再点拨满分攻略．

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12解：（1）由y?ax2?11a?3?ax?6a?(2x?3)(x?4)，知A?,0?,B?4,0?. 22?2?因为OC?2OA,a?0，所以C?0,?3?，因此6a??3，解得a??. 所以抛物线的解析式为y??x2?121211x?3. 4（2）如图3，过点A作AD?CB,垂足为点D.

3. 5AD335在Rt△BAD中，sinB??，AB?，所以AD?.

2AB523（3）AO?CO,AD?BC，且AO?AD?，

2在Rt△BOC中，OB?4,OC?3，所以BC?5，sinB?∴∠OCA＝∠BCA，B'点落在y轴上,B'C?BC?5,B'?0,2?.

'由于BQ?BQ，所以CQ?BB'.

图3

设点P的坐标为(x,?x2?1211x?3). 4①如图4，当?CQP?90?时，过点P作PM⊥x轴于点M，

1?(2x?3)(x?4)PMB'O214??,即则?.

MBOB44?x2当x?4时，P与B重合,∴P1?4,0?； 当x?4时，解得x?5?53?,∴P2?,?． 2?24?②如图5，当?PCQ?90?时，过点P作PN⊥y轴于点N，

1?3?(2x?3)(x?4)14则△AOC∽△CNP，所以?.

x2解得x1?13?1325?,x2?0（P与C重合，不符合题意）．∴P3?,??．

4?2?2?53??1325?综上所述，满足条件的点P的坐标为P?4,0?或P?,?或P?,??.

4??24??2- 2 -

图4 图5 我们从这道题的解题过程可以看到：

1．抛物线与x轴的交点A、B的坐标与a(a＜0)的取值无关．由OC＝2OA，数形结合可以确定点C的坐标，从而确定抛物线的解析式．

2．原题中只给了一个没有刻度的直角坐标系，因此解这道题目的第一障碍是画图． 3．第（2）题求A到直线BC的距离有什么意义呢？

由点A的坐标及点A到直线BC的距离，可以判定点A在∠OCB的平分线上，所以点B′落在 y 轴上，

OQ垂直平分线段BB′，垂足为Q．

4．在抛物线上求点P，抛物线是画不准确的，但是你必须明确这么几点： 准确画出A、B、C、B′、Q五个点；

抛物线开口向下，过A、B、C三点，顶点在第一象限，抛物线与BB′的交点在CQ的右侧． 5．分类讨论直角△PQC的存在性，按直角顶点分?CQP?90?和?PCQ?90?两种情况．

6．求点P的坐标，关键是构造相似三角形．构造的一般策略是过点P向坐标轴画垂线，这样通过数形结合就可以把线段的长用点的坐标表示出来．

我们来看第2题（2010年浦东新区第24题）．

第（1）题，如果△ABP是直角三角形，第一意识是要分类，凭借直觉和经验，∠PAB不可能为直角． ①如图6，∠ABP为直角是显然的，点P与点B的横坐标相同．

②∠APB为直角真的存在吗？要分三步走：假如存在，列方程，根据方程的解判断是否真的存在． 当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2． 设点P的坐标为?x,

??

42?22

x??4． ，由OP＝4，得?x2x?

解得x??2．如图7，此时点P的坐标为（2，2）．

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第（2）题，又要凭借直觉和经验，当∠ABP为直角时，经过A、B、P三点的抛物线显然不存在．

图6 图7

第（3）题，直觉和经验更重要，点C在抛物线的对称轴上，如图8，由点C和点P的坐标，可以判断△OPC是等腰直角三角形，那么在图9中， ∠1与∠2是同角的余角， 而∠2与∠3是等腰三角形OAP的两个底角，经过等量代换，得到∠1等于与∠3．

可能初三的同学更容易想到用相似三角形的判定定理2证明△DAP与△DPB相似(如图9)，计算虽然麻烦，但是好不容易抓住思路了，就不要怕麻烦，仔细一些．

图8 图9

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直角三角形的存在性问题

1．如图1，已知抛物线y＝x＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当以C、

2

D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

图1

2．如图2，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b＞0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），联结PP′、P′A、P′C．设点P的横坐标为a．是否同时存在a、b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由．

图2

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