第二十六章 二次函数

第二十六章 二次函数

【知识梳理】

1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中

2b4ac?b2h??，k?.

2a4a3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b?4ac?b2?2 （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?， ??2a?4a?bb4ac?b2（?，）∴顶点是，对称轴是直线x??.

2a2a4a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，

22得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂

直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线

22bb

，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y2aa

b轴左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

ax??2 （3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

2 当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 7.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2b?0. a （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

2 （2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点

(h,ah?bh?c).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G的交点，

222由方程组

y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个

交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为

2A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故

bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c?4x1x2???????

aaaa??2【能力训练】

1.抛物线y?x2?2mx?(m?2)的顶点坐标在第三象限，则m的值为（ ） A．m??1或m?2 B．m?0或m??1 C．?1?m?0 D．m??1 ． 2．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ） A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1

3． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ） A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5 4．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（ ）

11111 A.(1,1)B .C(,1) D.(?, ) .(,22424)25．二次函数y?ax?bx?c 的图象，如图所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0

6．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s

7．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ） A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

8．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A．这两个函数图象有相同的对称轴 B．这两个函数图象的开口方向相反 1 C．方程－x2+k=0没有实数根 D．二次函数y=－x2＋k的最大值为

29．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（ ）

A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2

211．已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，

③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ） A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④

212．已知二次函数y?ax?bx?c(a≠0）的图象如图所示，则下列结论：

①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0； ④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ） A．l个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），

则此抛物线对应的二次函数有（ ）

A．最大值1 B．最小值－3 C．最大值－3 D．最小值1

214．用列表法画二次函数y?ax?bx?c的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间

隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ） A．506 B．380 C．274 D．182

15．二次函数y=－x2＋6x－5，当x 时， y?0，且y随x的增大而减小。 16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________ 17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________

18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=___（只要求写一个）． 19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．

20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。 (2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。

22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162－3x；

（1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式；

（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？

23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）． 根据图像提供的信息，解答下列问题：

（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？

25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为

y＝x2－(b＋10)x＋c.

⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式； ⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.

4 32 1 O -1 -2 -3

1 2 3456 s(万元) t(月)

26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl

(1)求m的取值范围；

(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；

27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 .

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

1

（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD= S梯形ABCD。若存在，请求出该点

2坐标，若不存在，请说明理由.

28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6０米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。

(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y最大值 =450米2。

(2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．

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