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第二十六章 二次函数

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第二十六章 二次函数

【知识梳理】

1.定义:一般地,如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成:y?a?x?h??k的形式,其中

2b4ac?b2h??,k?.

2a4a3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向:当a?0时,开口向上;当a?0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地,y轴记作直线x?0.

4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b?4ac?b2?2 (1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?, ??2a?4a?bb4ac?b2(?,)∴顶点是,对称轴是直线x??.

2a2a4a(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,

22得到顶点为(h,k),对称轴是直线x?h.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂

直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 6.抛物线y?ax?bx?c中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与y?ax2中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线

22bb

,故:①b?0时,对称轴为y轴;②?0(即a、b同号)时,对称轴在y2aa

b轴左侧;③?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.

ax??2 (3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

2 当x?0时,y?c,∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c):

①c?0,抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴;③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 7.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

2b?0. a (3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

2 (2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点

(h,ah?bh?c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切; ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G的交点,

222由方程组

y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l与G有两个

交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点;③方程组无解时?l与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为

2A?x1,0?,B?x2,0?,由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根,故

bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c?4x1x2???????

aaaa??2【能力训练】

1.抛物线y?x2?2mx?(m?2)的顶点坐标在第三象限,则m的值为( ) A.m??1或m?2 B.m?0或m??1 C.?1?m?0 D.m??1 . 2.抛物线y=x2-2x+3的对称轴是直线( ) A.x =2 B.x =-2 C.x =-1 D.x =1

3. 二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是( ) A.3 B.5 C.-3和5 D.3和-5 4.抛物线y=x2-x的顶点坐标是( )

11111 A.(1,1)B .C(,1) D.(?, ) .(,22424)25.二次函数y?ax?bx?c 的图象,如图所示,根据图象可得a、b、c与0的大小关系是( )

A.a>0,b<0,c<0 B.a>0,b>0,c>0 C.a<0,b<0,c<0 D.a<0,b>0,c<0

6.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳,函数h=3.5 t-4.9 t2(t的单位s;h中的单位:m)可以描述他跳跃时 重心高度的变化.如图,则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A.0.71s B.0.70s C.0.63s D.0.36s

7.已知抛物线的解析式为y=-(x—2)2+l,则抛物线的顶点坐标是( ) A.(-2,1)B.(2,l)C.(2,-1)D.(1,2)

8.若二次函数y=x2-x与y=-x2+k的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是( ) A.这两个函数图象有相同的对称轴 B.这两个函数图象的开口方向相反 1 C.方程-x2+k=0没有实数根 D.二次函数y=-x2+k的最大值为

29.抛物线y=x2 +2x-3与x轴的交点的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.抛物线y=(x—l)2 +2的对称轴是( )

A.直线x=-1 B.直线x=1 C.直线x=2 D.直线x=2

211.已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示,则在“① a<0,②b >0,

③c< 0,④b2-4ac>0”中,正确的判断是( ) A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④

212.已知二次函数y?ax?bx?c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:

①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0; ④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.l个 B.2个 C.3个 D.4个 13.如图,抛物线的顶点P的坐标是(1,-3),

则此抛物线对应的二次函数有( )

A.最大值1 B.最小值-3 C.最大值-3 D.最小值1

214.用列表法画二次函数y?ax?bx?c的图象时先列一个表,当表中对自变量x的值以相等间

隔的值增加时,函数y所对应的值依次为:20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一个值不正确,这个不正确的值是( ) A.506 B.380 C.274 D.182

15.二次函数y=-x2+6x-5,当x 时, y?0,且y随x的增大而减小。 16.将二次函数y=x2-4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式:y=___________ 17.把二次函数y=x2-4x+5化成y=(x—h)2+k的形式:y=___________

18.若二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴没有交点,其中c为整数,则c=___(只要求写一个). 19.抛物线y=(x-1)2+3的顶点坐标是____________.

20.二次函数y=x2-2x-3与x轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标,并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。 (2)若点(x0,y0)在抛物线上,且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。

22.华联商场以每件30元购进一种商品,试销中发现每天的销售量y(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数y=162-3x;

(1)写出商场每天的销售利润w(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式;

(2)如果商场要想获得最大利润,每件商品的销售价定为多少为最合适?最大销售利润为多少?

23.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图像(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图像提供的信息,解答下列问题:

(1)求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元?

24.如图,有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB的宽是20米,如果水位上升3米时,水面CD的宽为10米,

(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;

(2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发,要经过此桥开往乙地,已知甲地到此桥280千米,(桥长忽略不计)货车以每小时40千米的速度开往乙地,当行驶到1小时时,忽然接到紧急通知,前方连降大雨,造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨,(货车接到通知时水位在CD处),当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行;试问:汽车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过多少千米?

25.已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为

y=x2-(b+10)x+c.

⑴若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式; ⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y=-2x+b的解析式.

4 32 1 O -1 -2 -3

1 2 3456 s(万元) t(月)

26.已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中xl

(1)求m的取值范围;

(2)若x12+ x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线;

27.如图,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A( 0, 6 ),D ( 4,6),且AB=210 .

(1)求点B的坐标;

(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;

1

(3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得S△PBD= S梯形ABCD。若存在,请求出该点

2坐标,若不存在,请说明理由.

28.数学活动小组接受学校的一项任务:在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块生物园地,请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。

(1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米,则不靠墙的一边长为(60-2x)米,面积y= (60-2x) x米2.当x=15时,y最大值 =450米2。

(2)机灵的小明想:如果改变生物园的形状,围成的面积会更大吗?请你帮小明设计两个方案,要求画出图形,算出面积大小;并找出面积最大的方案.

x

x BOCxAyD

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