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课题：数列的极限、数学归纳法
一知识要点
（一）数列的极限
1.定义：对于无穷数列{an}，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数?，都能在数列中找到一项aN，使得当n>N时，|an-A|
n??2.运算法则：若liman、limbn存在，则有
n??n?? lim(an?bn)?liman?limbn；lim(an?bn)?liman?limbn
n??n??n??n??n??n??limanannlim???(limbn?0) n??blimbnn??nn???0(a?1)?3.两种基本类型的极限：<1> S=liman??1 (a?1)n???不存在(a?1或a??1)?<2>设f(n)、g(n)分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数
?0(p?q)?f(n)?ap分别为ap、bp且g(n)?0(n?N),则lim??(p?q)
n??g(n)?bq?不存在(p?q)?4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S?a1 （|q|<1） 1?qn??无穷数列{an}的所有项和：S?limSn （当limSn存在时）
n??（二）数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：
①验证命题对于第一个自然数n?n0 成立。
②假设命题对n=k(k≥n0)时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n≥ n0的自然数,命题都成立。
二、例题（数学的极限）
3n2?2n?1例1.（1）lim= ;
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2）．数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且limana?a???an=3,则lim12=
n??n??bnb2nn1?an?1（3.）lim(a>1)= ;
n??2?anmi(l（4）．
n??321n?????)n2?1n2?1n21?1= ;
（5）.lim(n2?2n?n)= ;
n??（6）．等比数列{an}的公比为q=─1/3,则lim??a1?a2???an= ;
n??a?a???a242n.
例2．将无限循环小数0.12；1.3212化为
??n2?1?an?b)?1,求实数a,b的值; 例3．已知lim(n??n?1
例4．数列{an},{bn}满足lim(2an+bn)=1, lim(an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}的
n??n??极限是否存在，说明理由并求lim(anbn)的值.
n??
例5．设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An ,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn ,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+?+Gn,若有lim(n??Ann?Sn)=a,
求r的值.
例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=
1例7．{an}的相邻两项an,an+1是方程x2─cnx+()n=0的两根，又a1=2,求无穷等比
3c1,c2,?cn, ?的各项和.
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SnSn?1(n?1,2,?),求limTn.
n??亿库教育网 http://www.eku.cc
例8．在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
rn an rn+1
例9．如图，B1，B2，?，Bn,?顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A1，A2，?，An?顺次为ox轴上的点，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An─1BnAn为等腰三角形（其中? Bn为直角),如果An的坐标为(xn,0). (1)求出An的横坐标的表达式; (2)求lim|AnAn?1|.
n??|An?1An|y
B1
B2 B3 Bn
x O
A1 A2 An─1 An
二．例题（数学归纳法）
例1．用数学归纳法证明2n>n2 (n∈N,n?5),则第一步应验证n= ;
111?n,(n?N,n?1),第一步验证不等式 例2．用数学归纳法证明1?????232n?1成立；
2
n(n?1)例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·2＋2·3＋??＋n(n＋1)＝(an
122
2
2
＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)
111例4.已知数列{an}=1?????,记Sn=a1+a2+a3+?+an,用数学归纳法证明
23nSn=(n+1)an-n.
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例5．证明：1?111n?2????n> (n∈N,n?2) 2322
例6．证明：xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0).
例7.在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,?,an，使这n?2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,?,bn使这n?2个数成等差数列．记
An?a1a2a3?an,Bn?b1?b2?b3???bn．
（Ⅰ）求数列?An?和?Bn?的通项；（Ⅱ）当n?7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论．
例8．若数列{an}满足对任意的n有：Sn=证明你的结论.
例9．已知数列?bn?是等差数列，b1?1，b1?b2???b10?145。
n(a1?an),试问该数列是怎样的数列？并2?1?（Ⅰ）求数列?bn?的通项bn；（Ⅱ）设数列?an?的通项an?loga?1??（其中a?0，
?bn?1且a?1），记Sn是数列?an?的前n项和。试比较Sn与logabn?1的大小，并证明你
3的结论。
练习（数列的极限）
1. 已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋??
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＋an,那么limSn的值等于( )(89年)
n??(A)8
n??(B)16
131415(C)32
1)]的值等于( )(91年) n?2(D)48
2. lim[n(1?)(1?)(1?)??(1?(A)0
(B)1
(C)2
1an(D)3
,那么a1的取值范围是
Sn?3.在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满足nlim??( )(98年) (A)(1,＋∞)
(B)(1,4)
(C)(1,2)
(D)(1,2)
7.)等于 ( )
(A)0 (B) ? (C) (D)5 2???2n)2等于：8．lim(11?2?2（A）16 （B）8 （C）4 （D）2 32n?1n??C2n?C2n???C2n9． 已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为
Sn,limSn?1=1,则公比q的取值范围是：
n??Sn （A）.q≥1 （B）.0
?n2?1n2?2n2?n??10.lim?的值为 ( ) ????33?n???n3nn??(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在
lim11.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是{an}的前n项和，那么n??nnanSn等于___.
,则limSn＝______.(9312.已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，Sn??n??aai?1ii?11年)
13.如果liman存在，且limn??an?34?，则liman＝________
n??n??a?29nlim14.n??3n?1?(?2)n3?(?2)nn?1＝____________.(86年)
15.lim(n??1232n??????)＝____________.(87年) 2222n?1n?1n?1n?1亿库教育网 http://www.eku.cc
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