课时达标检测（二十六） 平面向量的数量积及其应用(2)

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∴3sin A－cos A＝1， π1A－?＝. ∴sin??6?2

ππ5π∵0

666πππ

∴A－＝，∴A＝.

663

π3(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cos B＝，

33∴sin B＝

1－cos2B＝

16

1－＝. 33

62×

342abasin B42

由正弦定理知＝，∴b＝＝＝，∴b＝. sin Asin Bsin A333

2 2.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． (1)求向量b＋c的模的最大值；

π

(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．

4解：(1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，

则|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)． 因为－1≤cos β≤1， 所以0≤|b＋c|2≤4， 即0≤|b＋c|≤2.

当cos β＝－1时，有|b＋c|＝2， 所以向量b＋c的模的最大值为2. π?2，2?.

(2)若α＝，则a＝

4?22?

又由b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)得a·(b＋c)＝＋

22

sin β－. 22

因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，

2?2，2?·

(cos β－1，sin β)＝cos β

22??2

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即cos β＋sin β＝1，所以sin β＝1－cos β， 平方后化简得cos β(cos β－1)＝0， 解得cos β＝0或cos β＝1.

经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．

3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为―→1―→?―→1―→PC＋PQ ?·PC－PQ?＝0. Q，且?22????

(1)求动点P的轨迹方程；

―→―→(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求PE·PF的最值． 解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)． ―→1―→?―→1―→

PC－PQ ?＝0， 由?PC＋2PQ ?·2

????

1――→→

得|PC|2－|PQ|2＝0，

4

x2y212

即(2－x)＋(－y)－(8－x)＝0，化简得＋＝1.

41612

2

2

x2y2

所以动点P在椭圆上，其轨迹方程为＋＝1.

1612―→―→―→―→―→―→

(2)易知PE＝PN＋NE， PF＝PN＋NF， ―→―→

且NE＋NF＝0，由题意知N(0,1)，

y2?1―→―→―→2―→222?所以PE·PF＝PN－NE＝(－x)＋(1－y)－1＝16?1－12?＋(y－1)2－1＝－y2－2y

31

＋16＝－(y＋3)2＋19.

3

因为－23≤y≤23，

―→―→

所以当y＝－3时，PE·PF取得最大值19， ―→―→当y＝23时，PE· PF取得最小值12－43. ―→―→综上，PE·PF的最大值为19，最小值为12－43.

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