对数的概念_教学设计

§2.2.1 《对数的概念》教学设计

一、基本说明 1. 课题：对数的概念 2. 课时：1课时 3. 年级：高一年级 4. 模块：高中数学必修1

5. 所用教材版本：人民教育出版社A版 6. 所属章节：第二章第二节第1课时 7. 课型：新授课

二、教材分析

本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门．对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难．对数函数又是本章的重要内容，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用．通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，这既是对指数概念和指数函数的回顾与深化，同时也为学习对数函数作好准备，起到了承上启下的作用．同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义．

三、学情分析

高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．对数概念对于高一学生来说是一个全新的概念．此前，学生已学习了指数及指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数则是已知底数和幂值求指数，二者是互逆的关系．对数概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备．

四、教学目标 1. 知识与技能

（1）了解对数的概念，会运用中英文进行阐述；

（2）理解对数式和指数式之间的关系，会进行两者之间的转化； （3）能运用指对互化求解对数式中的未知数，了解对数恒等式． 2. 过程与方法

（1）通过指对互化，让学生体会对立统一、相互联系、相互转化的数学思想；

（2）通过对数恒等式的探究，让学生体会从特殊到一般，先猜想后证明的数学思想方法． 3. 情感、态度与价值观

（1）通过数学史的穿插讲解，让学生感受对数的发现的重要性；

（2）学生在学习过程中感受指对互化，学会用相互联系的观点辩证的看问题．

五、教学重难点

教学重点：对数概念的理解、指数式和对数式的互化； 教学难点：对数概念的形成、指对互化的应用．

六、设计思想

在对数的概念教学中，需要教师引导学生，从具体情境中引起学生认知冲突，利用指数与指数函数相关知识生成对数的概念．利用数学史和具体例子，让学生理解对数式与指数式之间的内在联系、自然对数和常用对数．在指对互化应用教学中，力求让学生体会运用从特殊到一般、先猜想后证明等数学思想方法，将对数这一新知纳入已有的知识结构中．

七、教学方法和手段

教学内容编排上以情境或问题为主，采用启发式教学．师生活动中强调学生主体思考发言，教师总结点评的思想．教学工具主要利用PPT．

八、教学过程

（预习教材P62~ P64，可结合pre-calculus 教材P342-P343对相关英文表达进行了解） 教学环节 教学内容 【情境】截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，设x年后我国人口数复习 回顾 2min 为1999年底人口数的y倍，建立y与x之间的关系. 【回答】y?1.01x,x?0（指数函数） 【问题】如何计算10年、20年、30年后人口数分别可达到1999年底人口数的多少倍？ 【回答】y?1.0110、y?1.0120、y?1.0130：已知底数和指数，求幂的值． 在复习的情境中，思考如下问题： 【问题】多少年后人口数可达到1999年底人口数的2倍、3倍、4倍？ 新课 导学 探究任务一： 对数的概念 【回答】2?1.01、3?1.01、3?1.01 【思考1】问题具有怎样的共性？ 【回答】已知底数和幂的值，求指数 【思考2】怎样求指数呢？例如：由1.01?N，求x. xxxx学生活动 教师活动 设计意图 通过情境设学生回答 （个人） 教师点评、总结 学生回答 （集体） 置，让学生回顾指数函数．指数式中的底数、指数、幂，便于后续课程的开展． 在指数函数的基础上提出对数问题 教师点评、思考1让学生体会问题的关联；思考2利用具体问题引起学生回答 （集体） 15min 5min 学生回答【思考1】 （个人） 总结 学生认知冲突，从而引出对数概念． 【数学史】16世纪英国数学家纳皮尔提出了对数的概念；17世纪，欧拉给出对数和指数之间的关系（给出定义）． 【新知】一般地，如果那么数x叫做以a?N?a?0且a?1?，x简介对数发现和命名，让学生了解数学史，同 教师阐述 时便于学生记住对数的英文翻译，也便于学生理解对数符号 a为底 N的对数（x is the logarithm (base a) of N）. 【数学史】英文词源．这个单词源自拉丁文，从英文角度分析，log是木筒的意思；arithm取自arithmetic的前六个字母，有计算的意思．计算筒是纳皮尔发明用于计算的工具，可以计算对数．（展示计算筒图片，见附录1） 让学生学会2?1.01、【练习】分别用中英文指出，x学生回答 （个人） 学生点评 （集体） 教师点评 用中英文描述，指出中英文局限性，引出数学语言 3?1.01、3?1.01三个等式中x的名xx称（情境问题） 【新知】欧拉提出的对数式：x?logaN，其中a叫做对数的底数强调数学语言是国际通 教师阐述 用语言，强调数学语言的重要性， (base)N叫做真数(antilogarithm) 当a?0且a?1时，我们把ax?N称作指数式(exponential forms)把logaN?x称作对数式(logarithmic forms). 【思考1】根据对数定义，思考指数式探究任务二： 对数式与指数式的关系 8min 与对数式之间的关系？（见附录2） 体会定义中学生思考、指数式和对教师总结 数式的关系，理解指对互化思想 【总结】对数式和指数式是表示a 、x、交流、发言 N三者之间同一关系的两种表达形式，可互相转化 当a?0,a?1时，ax?N?x?logaN 【注】?是“等价（equivalent）”的意思． 【例1】将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式. （1）log327?3； （2）log132??5； 2学生学案书写，个别学生黑板书写，共同评判 教师总结 让学生熟悉指对互化 （3）log523?a； （4）54?625； 1（5）2?7?； 128（6）3a?30 【总结】强调注意书写，注意对数符号的书写，与真数才能构成整体 【思考2】对数式中a、x、N相应的取值范围？ 【结论】a??0,1???1,???、x?R、让学生理解对数式中各学生观察、交流、发言 教师总结 参数的取值范围，便于后续对数函数教学 N??0,??? 【思考3】任何实数都有对数吗？ 【结论】负数和零没有对数． 【练习】将指数式10?2?0.01化为对数式 【小结】①我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数log10N简记为lgN 介绍常用对数和自然对数，数学史的介绍以及类比π，可以让学生更 教师阐述 好的理解无理数e，英文的介绍让学生了解相应概念的英文表示，同时也便于理解简记符号 【数学史】还有一个特殊的数，经常被常用对数 自然对数 2min 用来做底数．这个数就是欧拉首次提出，并以欧拉名字（Euler）首字母命名的无理数e（约为2.71828??）e是无理数，代表2.71828??这个数，就像π代表3.1415926??这个无理数一样．由于e在科学技术中使用较多，英国教师斯佩德提出以e为底的自然对数：ln(logarithm nature)． 【小结】②在科学技术中常使用以无理数e=2.71828??为底的对数，以e为底的对数叫自然对数（natural logarithm），并把自然对数logeN简记作lnN 【试试】说出下列各式的意义，并将其转化为指数式. （1）lg100=2； （2）ln100=4.606. 【例2】求下列各式中x的值： （1）lne3?x；（2）logx8?6；（3）指对互化应用： 对数式中值的求解 6min lgx?4. 学生回答、互评 教师总结点评 检验学生对特殊对数的理解情况 若学生无思学生思考、交流，最终形成解决办法 路，教师引导考虑对化指；学生有思路，教师总结点评 指对互化的应用 【小结】 a. 应用指对互化解决对数式中未知数求解问题（知二求一）： ①对数式化为指数式；②求解x的值； b. 求解对数式的值可以像例1一样，先设其为x，求解x的值． 【例3】求下列各式的值: （1）log21； （2）log11； 51（3）log1515； （4）log1； 33内容安排上是利用指对互化让学生了解对数恒学生口答特殊情况，猜想一般结论，交流后总结证明一般结论的方法 教师引导从特殊到一般、先猜想后证明的数学思想方法，对学生的回答加以点评 等式，同时，也是对例2的结论b的应用；数学思想方法上，让学生体会从特殊到一般结论，先猜想后证明的数学思想方法． 典型 例题 15min 【思考1】观察例3中的（1）-（4），猜想loga1??、logaa??如何证明你的结论？ 【总结】loga1?0,logaa?1（a?0且指对互化应用： 【例4】求下列各式的值: （1）log381； （2）log116； 对数恒等式 2a?1）． 9min 【思考2】观察例4中的（1）、（2），猜想logaan??，并证明你的结论． 【总结】logaan?n（a?0且a?1）． 【例5】求下列各式的值: （1）10lg5； （2）3log37. 【思考3】观察例2中的（7）、（8），猜想alogaN??，并证明你的结论． logaN【总结】aN?0）． ?N（a?0且a?1，

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