2013年高考数学压轴题大演练(2)

∴当x?1时，G(x)?G(1)?0 ∴x?lnx 即综上所述，

1a?b?lna?bba?bb?ln?a?bba?bb

.………………………………………………14分

8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，

ByA、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，

的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、

BODCx!ABCD

两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且

????????MP??PN，问在x轴上是否存在定点G，使

?????????????BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1) 设双曲线E的方程为

xa22?yb22?1(a?0,b?0)，

yA则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．

由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a．

?|AB|?|AC|?16a,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?222BODCx （3分）

解之得a?1，∴c?2,b?3． ∴双曲线E的方程为x?2y23?1． （5分）

．

y?????????????(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． 由MP??PN，得y1??y2?0． 即???y1y2B????????GO ① （6分）

CPNx????∵BC?(4,0)，

M?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)．

即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得

2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0

（8分）

③ （9分）

把x?m?ky代入x?2y23?1并整理得

2(3k?1)y?6kmy?3(m?1)?0

22其中3k2?1?0且??0，即k2? y1?y2??6km3k?12213且3k2?m2?1． ．

（10分）

,yy?123(m?1)3k?12代入③，得

6k(m?1)3k?122?6km(m?t)3k?12?0，

化简得 kmt?k． 当t?1m时，上式恒成立．

1m?????????????,0)，使BC?(GM??GN)因此，在x轴上存在定点G(9．(本小题满分14分)

． （12分）

已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1的常数），记f(n)?1?Cna1?Cna2???Cnan2Snn12n．

(1) 求an；

(2) 试比较f(n?1)与

p?12pf(n)的大小（n?N*）；

?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)?（n?N*）． ?，??解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，

①

②

∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得

(1?p)an?1??pan?1?pan，

即an?1?pan．

（3分）

在①中令n?1，可得a1?p．

∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn．

（4分）

(2) 由(1)可得Sn?p(1?p)1?pn?p(p?1)p?1n．

12n122nnnn1?Cna1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．

∴f(n)?1?Cna1?Cna2???Cnan2Snp?1p?(p?1)2n?1n?112nn?p?1p?(p?1)nnn2(p?1)， （5分）

f(n?1)?(pn?1n?1?1)n?1．

，且p?1，

而

p?12pf(n)?p?1p?(p?1)2(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?p?12p2pf(n)，（n?N*）．

p?12p

f(n)p?12p （8分）

(3) 由(2)知 f(1)?p?1，f(n?1)?p?12p，（n?N*）．

)f(n?2)???(22∴当n…2时，f(n)?f(n?1)?(p?12p2n?1)n?1f(1)?(p?12p)n．

∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?p?1?p?1??p?1?????????2p?2p??2p?2n?1

?p?1?p?1???1???p?1?2p?????， ?? （10分）

（当且仅当n?1时取等号）．

另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时，

k2n?k?p?1?(p?1)(p?1)f(k)?f(2n?k)???kk? 2n?k2n?kp?2(p?1)2(p?1)?…p?1p?2?2n?k2n?k kk2(p?1)2(p?1)nk(p?1)k(p?1)2n?kp?12(p?1)??np21(p?1)(p2n?k?1)

p?12(p?1)??np2n1p2n?p?pk2n?k?1．

∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2． ∴f(k)?f(2n?k)…2n?1p?1p?2(p?1)nnn2(p?1)?2f(n)2n?1，（当且仅当k?n时取等号）．（13分）

．（当且仅当n?1时取等号）．

∴?f(k)?k?1122n?1?[f(k)?k?1f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?1?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1?（n?N*）．（14分） ?，??

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