计量经济学 各章练习 林清泉(5)

131p3?2p2?3 2 3 5 2 4

8、设总体X服从泊松分布，参数为?，未知。如果?服从以下分布：

Pr{?1?2}?0.2，Pr{?2?3}?0.7，Pr{?3?4}?0.1，并且损失函数为二次误差L(a，d)=(a-d)2。现从该总体中抽取一组样本x1~x10。，试求参数?的贝叶斯估计量？

样本X1~X10的值x1~x10如下（由??3的泊松分布生成的随机数）

1，2，2，5，1，3，6，8，1，4

9、某工厂生产一批零部件，对产品的生产要求是尺寸误差服从均值?0?0毫米，标准差??1毫米的正态分布。为了检验该批产品是否满足生产要求，从中抽取了10个样本进行检测，误差值分别为x1~x10：0.50，0.18，1.59，-1.37，0.93，1.40，1.23，1.08，0.54，1.18。假设该批产品误差标准差仍然为1毫米，问这批零件是否满足尺寸误差要求？取显著性水平??0.05。

10、某总体X服从正态分布N(?,?)，从中抽出一组样本x1~x10，样本值分别是：0.81，1.73，0.41，3.18，0.86，1.11，2.07，1.06，0.90，0.17。?未知，假设总体均值???0?1.5，问该假设能否成立？显著性水平??0.05。

11、某工厂生产一批零部件，内径用X表示，服从正态分布N(?,?)，?未知。按照质量要求，产品内径标准差?不得超过?0?0.5。现抽取9个样本进行检验，数值如下：10.62，10.80，10.94，9.01，10.21，10.24，8.99，9.26，11.08。问该批产品是否满足质量要求？显著性水平??0.05。

22N(?,?)N(?,?)。检验两组样本方差112212、有两组样本，分别服从正态分布和

是否相等？显著性水平??0.05。

第一组8个样本：3.38，-1.40，0.96，0.69，-2.21，1.51，-1.11，3.83；

第二组7个样本：0.19，1.53，1.22，0.08，-1.17，0.94，-0.01。

13、某养殖场对猪饲料增肥效果进行的试验：把18只情况相似的仔猪随机分为三组，每组仔猪分别用不同饲料进行喂养。60天后，取得增肥数据如下： 单位：千克 第一组 40 第二组 19 第三组 34 35 18 30 36 20 42 34 21 33 26 20 26 30 21 25 利用单因素方差分析检验三种饲料的增肥效果是否相同？

第三部分 参考答案

1、 解：

设1986年~2005年万元GDP石油消耗分别为x1986,x1987,均计算公式为：

?t?xxt?5?xt?4?xt?3?xt?2?xt?15，t?1990,1991,,2005

,x2005，5项移动平

注意：公式写成以上形式是出于估计2006年数据的需要。实际上，如果只是为了平滑时间序列中不必要的变动，移动平均数的位置不是特别重要（公式左侧的t，代表移动平均数的位置）。

根据该公式，将计算结果列于下表，并估计2006年万元GDP石油消耗为： x?x?x2003?x2004?x2005?2006?20012002x?0.67685

1986~2005年我国万元GDP石油消耗（单位：吨） 年份 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 万元GDP1.2782 1.2144 1.1741 1.1781 1.1250 1.1109 1.0486 0.9984 0.8911 0.8588 石油消耗 移动平均 年份 万元GDP— 1996 — 1997 — 1998 — 1999 1.1940 1.1605 1.1273 1.0922 1.0348 0.9815 2000 2001 2002 2003 2004 2005 0.8433 0.8651 0.7950 0.7778 0.7557 0.7042 0.6948 0.6869 0.6731 0.6253 石油消耗 移动平均 0.9280 0.8913 0.8507 0.8280 0.8074 0.7796 0.7455 0.7239 0.7029 0.6768 2、 解：

(1)(1)x??x?(1??)xt?1t?1。 一次指数平滑法估计公式为：t式中，xt为第t期的预测值；?为平滑系数，0???1；xt?1为t-1期的实际观测值；xt?1为t-1期的预测值；初始估计值取值为x1990?x1990。

(2)(1)(2)根据二次指数平滑法预测公式：xt??xt?(1??)xt?1，计算第t期二次指数

平滑估计数据。

平滑系数?对估计结果至关重要，我们通过对?依次取值0.3,0.6,0.9，然后计算二次指数平滑数据相应估计误差，最后选择估计误差最小的?值对2006年数据进行估计。估计误差指标选择为平均绝对误差MAD，

1(e1?e2??en)nMAD=。

计算步骤如下： （1） 确定?值；

（2） 计算一次、二次指数平滑值；

（3） 计算不同?值的二次指数平滑值平均绝对误差，选择最小平均绝对误

差对应的?值。 当??0.3时，MAD=4807.6 当??0.6时，MAD=2580.6； 当??0.9时，MAD=1506.7。

因此，选择??0.9作平滑系数，计算2006年二次平滑数据得：

(2)x2006?3118.7

一次指数平滑估计值： 1990 11486 1998 19818

3、(1)矩估计法

解：

设A1、A2是样本值第一、二阶的样本矩，计算如下：

1101102A1??Xi?3.9204A2??Xi?15.797010i?110i?1，

设总体前k阶矩是?k，根据矩估计法把第一、二阶样本矩作为相应总体矩的估计值，则有以下等式成立：

1991 12423 1999 21073

1992 13373 2000 22439

1993 14321 2001 22838

1994 14956 2002 24780

1995 16065 2003 27126

1996 17436 2004 29383

1997 19692 2005 31700

?2?A2?15.7970 ?1?A1?3.9204，??又由于方差D(X)=E(X2)-E(X)2，所以总体方差?估计值为：

2?2?A2?A12?0.4275 ?由均匀分布的性质有：

a?b?????2?2(b?a)2?????12

解出以上方程组得：

a???3?2，b???3?2 则总体参数a，b的估计值为：

??5.0529 ??2.7879，ba(2)极大似然估计法 解：

记x(1)?min(x1,x2,,x10)?3.0763，x(10)?max(x1,x2,,x10)?4.8685

X的概率分布密度是：

?1?f(x;a,b)??b?aa?x?b??0 其它

由于a?x(1),x(10)?b，则似然函数为：

?1??0)bL(a,b)??(b?a)10a?x(1,)x(1?0? 其它

对于满足条件a?x(1),x(10)?b的任意a，b，有：

11?(b?a)10x(10)?x(1)

即L(a，b)在a?x(1)?3.0763，b?x(10)?4.8685时，取得最大值。故a，b的

L(a,b)?极大似然估计值为：

??4.8685 ??3.0763，ba

4、(1)矩估计法

解：

设A1、A2是样本值第一、二阶的样本矩，计算如下：

1101102A1??Xi?3.4619A2??Xi?14.791110i?110i?1，

设总体前k阶矩是?k，根据矩估计法把第一、二阶样本矩作为相应总体矩的估计值，有以下等式成立：

?2?A2?14.7911 ?1?A1?3.4619，??又由于方差D(X)=E(X2)-E(X)2，所以总体均值?和总体方差?估计值为：

2?2?A2?A12?2.8063 ??3.4619，??(2)极大似然估计法 解：

均值为?，方差为?的正态分布，其概率密度函数为：

2f(xi;?,?2)?12??2e?(xi??)22?2

则样本似然函数为：

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