由平面向量的数量积判断三角形形状

由平面向量的数量积判断三角形形状

由平面向量的数量积定义及其几何意义可知数量积是数与形的结合点，利用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，从而较容易判断三角形的形状。本文总结如下：

????????????例1：在△ABC中，AB?a，BC?b，且a?b?0，则△ABC是什么三角形 （ ）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.等腰直角三角形 例2：以O(0,0)，A(a,b)，B(b+a,b－a)为顶点的三角形的形状是 （ ） A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形D 等腰直角三角形

????????????说明：向量如果用坐标表示，应用数量积的坐标运算，先看AB、BC、AC是否有一对垂

直。

????????????????????(OB?OC?2OA)?0则△ABC例3：若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB?OC)?的形状为（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形

A????????????????????????????????(OB?OA?OC?OA)?0即CB?(AB?AC)?0 解：原式可化为CB?结合图可知平行四边形ABCD为菱形, 所以△ABC为等腰三角形

B????????AB?ACC????????????????????????????????例4：已知AB、AC是非零向量且满足(AB－2AC) ⊥AB，(AC－2AB) ⊥AC，则

△ABC的形状是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形

D????????????????????????????????????????解：(AB－2AC) ⊥AB?(AB－2AC) ·AB=0即AB·AB－2AC·AB=0 ????????????????????????????????????????AC=0即AC·AC－2AB·AC=0 (AC－2AB) ⊥AC? (AC－2AB) ·

????????????????????????????????AC=2AB·AC即│AB│=│AC│ ∴AB·AB=AC·????????AB?AC1而cos∠A=????????=∴∠A=60°所以△ABC为等边三角形

ABAC2说明：本题对数量积的性质及运算率基本上都考到了，是一道值得研究的好题。

?????????????????????例5：在△ABC中，若BC?a，CA?b，AB?c，且a?b?b?c?c?a，则△ABC的

形状是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形

???????????2?????2解：由画图可知a?b?c?0∴a?b??c?(a?b)?c??c?a?c?b?c??c， ??2?????2?????2?2?????a?c??b?(a?c)?b??b?a?b?c?b??b，又∵a?b?a?c∴c?b同理可得

?2?2?2c?b?a所以△ABC是等边三角形

?cBA?b?a??a?cC?cD方法2：如图延长AB至D点，使AB=BD连CD

?????????????∵a?b?b?c?b?(a?c)?0又∵a?c?DC∴AC⊥CD即△ACD为Rt△，又∵AB=BD

∴AB=BC同理可得AC=BC=AB,所以△ABC是等边三角形

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