2017年天津市静海一中高二理科下学期数学期末考试试卷

2017年天津市静海一中高二理科下学期数学期末考试试卷

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 若 ?? 为实数，且 2+??i ???2i =?4i，则 ??= ??

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

2. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是 ??

A. 19，13

3. 曲线 ??=cos??，??∈ 0,

A. 4

12

3π2

B. 13，19 C. 20，18 D. 18，20

与坐标轴围成的面积是 ?? B. 2

C. 2

5

D. 3

4. 已知 ?? ?? =??2+2????? 2014 +2014ln??，则 ??? 2014 = ??

A. 2015

??10+??10= ??

B. ?2015

C. 2014

D. ?2014

5. 观察下列各式：??+??=1，??2+??2=3，??3+??3=4，??4+??4=7，??5+??5=11，?，则

A. 28

B. 76

C. 123

D. 199

6. 如图，设 ?? 是图中边长为 2 的正方形区域，?? 是函数 ??=??3 的图象与 ?? 轴及 ??=±1 围成的阴影区域．向 ?? 中随机投一点，则该点落入 ?? 中的概率为 ??

A. 16

1

B.

8

1

C.

4

1

D.

2

1

7. 已知函数 ??=?? ?? 的定义域为 0,+∞ ，当 ??>1 时，?? ?? >0，对任意的 ??,??∈ 0,+∞ ，?? ?? +?? ?? =?? ????? 成立．若数列 ???? 满足 ??1=?? 1 ，且 ?? ????+1 =?? 2????+1 ??∈??? ，则 ??2017 的值为 ??

A. 22014?1 B. 22015?1 C. 22016?1 D. 22017?1

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8. 记定义在 ?? 上的函数 ??=?? ?? 的导函数为 ??? ?? ，如果存在 ??0∈ ??,?? ，使得 ?? ?? ??? ?? =??? ??0 ????? 成立，则称 ??0 为函数 ?? ?? 在区间 ??,?? 上的“中值点”．那么函数 ?? ?? =??3?3?? 在区间 ?2,2 上“中值点”的个数为 ?? A. 4 B. 3

二、填空题（共6小题；共30分）

7+i

C. 2 D. 1

9. 已知 i 是虚数单位，复数 3+4i 的共轭复数为 ．

10. 已知函数 ??=?? ?? 在点 2,?? 2 处的切线方程为 ??=2???1，则函数 ?? ?? =??2+?? ?? 在点

2,?? 2 处的切线方程为 ．

11. 二项式 2 ????? 的展开式中所有有理项的系数和等于 （用数字作答）． 12. 若 ?? ?? =??3+3∫0?? ?? d??，则 ∫0?? ?? d??= ．

13. 记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 ??．若 ?? 是不超过 5 的奇数，从这些两位数中任取

一个，其个位数为 1 的概率为 ．

14. 已知函数 ??=?? ?? 的导函数为 ??? ?? =cos???5，且 ?? 0 =0，如果 ?? 1????? +?? 1?????2 <

0 恒成立，则实数 ?? 的取值范围是 ．

1

1

16

三、解答题（共8小题；共104分）

15. 数列 ???? 的前 ?? 项和 ???? 满足 ????=2??????? ??∈??? ．

（1）计算 ??1，??2，??3，??4；

（2）猜想数列 ???? 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 16. 已知函数 ?? ?? =??ln??+2????2+?? ??,??∈?? ．

（1）若函数 ?? ?? 在 ??1=1，??2=2 处取得极值，求 ??，?? 的值，并说明分别取得的是极大值还

是极小值；

（2）若函数 ?? ?? 在 1,?? 1 处的切线的斜率为 1，且对任意 ??∈ 1,e ，都使得 ?? ?? ???≤

??+2 ???2+?? 恒成立，求实数 ?? 的取值范围．

2

17. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、 6

个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；

（2）若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 ??，求 ?? 的分布列和

数学期望．

18. 已知函数 ?? ?? =????3???2+???? ??,??∈?? ，??? ?? 为其导函数，且 ??=3 时 ?? ?? 有极小值

?9．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61） （1）求 ?? ?? 的单调递减区间；

（2）若 ?? ?? =??? ?? + 6???8 ??+4，?? ?? =????，当 ??>0 时，对于任意 ??，?? ?? 和 ?? ??

的值至少有一个是正数，求实数 ?? 的取值范围；

1

1

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（3）若不等式 ??? ?? >?? ??ln???1 ?3???4（?? 为正整数）对任意正实数 ?? 恒成立，求 ?? 的最

大值．

19. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者

中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是： 20,25 ， 25,30 ， 30,35 ， 35,40 ， 40,45 ．

（1）求图中 ?? 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 35,40 岁的人数； （2）在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，

再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人．记这 3 名志愿者中\

年龄低于 35 岁\的人数为 ??，求 ?? 的分布列及数学期望．

20. 已知函数 ?? ?? =????2+ln??，?? ?? =?????，其中 ??,??∈??．设 ?? ?? =?? ?? ??? ?? ．

21

（1）若 ?? ?? 在 ??=

2 处取得极值，且 ??? 1 2

=?? ?1 ?2，求函数 ?? ?? 的单调区间；

（2）若 ??=0 时，函数 ?? ?? 有两个不同的零点 ??1，??2．

①求 ?? 的取值范围； ②求证：

??1??2e2>1．

21. 已知函数 ?? ?? = ??+?? ln?? 的曲线 ??=?? ?? 在 ??=e 处切线与 ??=2?? 平行．

（1）求实数 ?? 值及 ??=?? ?? 的极值；

（2）若当 ??>1 时，函数 ??= ????+1 ???1 图象恒在 ??= ??+1 ?? ?? 图象上方，求实数 ??

的取值范围．

22. 已知函数 ?? ?? = ???2 e??+?? ???1 2 有两个零点．

（1）求 ?? 的取值范围；

（2）设 ??1，??2 是 ?? ?? 的两个零点，证明：??1+??2<2．

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答案

第一部分 1. B

【解析】因为 2+??i ???2i =?4i，

所以 4??+ ??2?4 i=?4i，4??=0，并且 ??2?4=?4， 所以 ??=0． 2. A

【解析】由题意知，

因为甲运动员的得分按照从小到大的顺序排列是 7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41， 共有 11 个数字，最中间一个是 19，

乙运动员的得分按照从小到大的顺序排列是 5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40， 共有 11 个数据，最中间一个是 13，

所以甲、乙两名运动员比赛得分的中位数分别是 19，13． 3. D

π2【解析】根据图形的对称性，可得曲线 ??=cos??，??∈ 0,

π2

3π2

与坐标轴围成的面积 ??=

3∫0cos??d??=3sin?? 0=3． 4. B

【解析】求导得：??? ?? =??+2??? 2014 +

2014??

，

令 ??=2014，得到 ??? 2014 =2014+2??? 2014 +1， 解得：??? 2014 =?2015． 5. C

【解析】??+??=1，??2+??2=3，??3+??3=4，??4+??4=7，??5+??5=11，?， 通过观察发现，从第 3 项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，

因此，??6+??6=11+7=18，??7+??7=18+11=29，??8+??8=29+18=47，??9+??9=47+29=76，??10+??10=76+47=123． 6. B

1111

【解析】根据积分的几何意义可知区域 ?? 的面积 ??=2∫0??3d??=2×??4 =2×=，区域

4

0

4

2

1

?? 的面积 ??1=2×2=4，

所以根据几何概型的概率公式可知所求概率 ??=7. C

【解析】因为 ?? ?? +?? ?? =?? ????? ，

????1

=

1

2

4

=．

8

1

所以 ?? 1 +?? 1 =?? 1 ， 所以 ?? 1 =0，??1=?? 1 =0． 设 0

??2??1

>1．

??

因为 ?? ?? +?? ?? =?? ????? ， 所以 ?? ??2 ??? ??1 =?? ??2 >0，

1

所以 ?? ??2 >?? ??1 ，

所以 ??=?? ?? 在 0,+∞ 上为增函数． 因为 ?? ????+1 =?? 2????+1 ，

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所以 ????>0（??>1，??∈???），?? ????+1 ??? 2????+1 =?? 所以 ??2017=22016?1． 8. C

????+1

2????

=0=?? 1 ，??+1=1， +12??+1

??

??

????+1=2????+1，????+1+1=2 ????+1 ，????+1=2???1，????=2???1?1，

【解析】设函数 ?? ?? 的“中值点”为 ??0，?? ?? =??3?3?? 的导函数为 ??? ?? =3??2?3，

?? ?? ??? ??

??????? 2 ??? ?2 = 48?6? ?8+6 =

4=1.

由题意可得

??? ??0 =

2

即 3??0?3=1，解得 ??0=±

2 3=±

2 33

∈ ?2,2 ，

故函数 ??=??3?3?? 在区间 ?2,2 上“中值点”的个数是 2． 第二部分 9. 1+i 【解析】因为

7+i

7+i3+4i

= 7+i 3?4i

3+4i 3?4i =

25?25i25

=1?i，

所以复数 3+4i 的共轭复数为 1+i． 10. 6??????5=0

【解析】因为 ??=?? ?? 在点 2,?? 2 处的切线方程为 ??=2???1，所以 ??? 2 =2，?? 2 =3．?? 2 =22+?? 2 =7，即点 2,?? 2 为 2,7 ，由 ?? ?? =??2+?? ?? 得 ??? ?? =2??+??? ?? ，所以 ??? 2 =4+??? 2 =6，所以 ?? ?? =??2+?? ?? 在点 2,?? 2 处的切线方程为 ???7=6 ???2 ，即 6??????5=0． 11. 365

【解析】二项式 2 ??? 的展开式中 ????+1=

??

6

60，??7=20 ?1 6C6

1??616

6?????

C6 2 ?? 1??

6???

??3?2??

?1 ??C6??，

1

3

??? =2

03204

分别令 ??=0,2,4,6 时，可得：??1=26C6??=64??3，??3=24 ?1 2C6??=240，??5=22 ?1 4C6=??3=1．

所有有理项的系数和 =64+240+60+1=365． 12. ?8 【解析】设 ∫0?? ?? d??=??，则 ?? ?? =??3+3??， 所以

??

=∫0?? ?? d??

1

1

1

=??4 +3??4 01

=+3??,41

1

1

1

=∫0??3d??+3∫0??d??

解得 ??=?8．

1

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