2018年广西中考数学压轴题专项练习含答案题库：线段问题（13道）

题库：二次函数压轴题-线段问题

1. 已知二次函数y＝x2－(2k＋1)x＋k2＋k(k＞0)． 1

(1)当k＝2时，求二次函数的顶点坐标；

(2)求证：关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0(k＞0)有两个不相等的实根；

(3)如图，该二次函数图象与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP＝1，直线AP交BC于点Q. 111

求证：OA2＋AB2＝AQ2.

第1题图 131

(1)解：当k＝2时，y＝x2－2x＋4＝(x－1)2－4， 1

∴顶点坐标为(1，－4)；

(2)证明：∵b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0， ∴原方程一定有两个不相等的实根；

(3)证明：由题意得，A(k，0)，B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)，

∴OA＝k，AB＝1，设PA的解析式为y1＝mx＋n，代入P(0，－1)，A(k，0)， 11

解得，m＝k，n＝－1，于是y1＝kx－1，

设BC的解析式为：y2＝sx＋t，代入B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)， 解得，s＝－k，t＝k2＋k，于是y2＝－kx＋k2＋k，

2?k1?x?k?2?y?x?1??1k?1, 联立?,解得?k?y?k?y??kx?k2?k?2?k2?1?k2k

∴点Q的坐标为(k＋2，2)．

k＋1k＋1k2k2k22

∴AQ＝(k＋2－k)＋(2)＝2. k＋1k＋1k＋1

2

k2＋111

∴AQ2＝k2＝1＋k2. 1111∵OA2＋AB2＝k2＋1＝AQ2. 111∴OA2＋AB2＝AQ2.

2.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B. (1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；

(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．

第2题图

解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，

∴A(－1，0)，C(0，5)，

∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，

?a?4?c?0∴?，

c?5 ?

解得??a??1， ?c?5 ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5； (2)如解图①，

第2题解图①

∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，

∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，

设直线BC解析式为y＝kx＋b， ∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)， ∴??5k?b?0，

?b?5 ?k??1， ?b?5 解得?∴直线BC解析式为y＝－x＋5， 设ND的长为d，N点的横坐标为n， 则N点的坐标为(n，－n＋5)， D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)， 则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|， 由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，

∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋∴当n＝时，线段ND长度的最大值是

5225； 45225， 4（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上， ∴m＝5，∴M(4，5)．

∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9， ∴顶点坐标为H(2，9)，

如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．

第2题解图②

设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n， ∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)， ∴??9??2m?n，

??5?4m?n7?m????3解得?，

13?n??3?13， 31313∴当x＝0时，y＝，即点E坐标为(0，)，

331313当y＝0时，x＝，即点F坐标为(，0)，

771313故所求点F，E的坐标分别为(，0)，(0，)．

73∴y＝－x＋

733.已知二次函数的解析式为y＝－x2＋4x，该二次函数交x轴于O、B两点，A为抛物线上一点，且横纵坐标相等(原点除外)，P为二次函数上一动点，过P作x轴垂线，垂足为D(a，0)(a>0)，并与直线OA交于点C. (1)求A、B两点的坐标；

(2)当点P在线段OA上方时，过P作x轴的平行线与线段OA相交于点E，求△PCE周长的最大值及此时P点的坐标；

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