移动通信原理与应用实验(5)

R????A?D (10-1)

式中，A为对应位码元相同的数目；D为对应位码元不同的数目。 自相关系数为

?(?)?A?DA?D ?PA?D(10-2)

对于m序列，其码长为P=2n－1，在这里P也等于码序列中的码元数，即“0”和“1”个数的总和。其中“0”的个数因为去掉移位寄存器的全“0”状态，所以A值为

“1”的个数（即不同位）D为

D?2n?1 A?2n?1?1

(10-3)

(10-4)

根据移位相加特性，m序列｛an｝与移位｛an－τ｝进行模2加后，仍然是一个m序列，所以“0”和“1”的码元个数仍差1，由式（10-2）～（10-4）可得m序列的自相关系数为

(2n?1?1)?2n?11?(?)??? ??0时

pp(10-5)

当τ＝0时，因为｛an｝与｛an－0｝的码序列完全相同，经模2加后，全部为“0”，即D=0，而A=P。由式（10-2）可知

?(0)?p?0?1 ?＝0时 p(10-6)

因此，m序列的自相关系数为

?1 ??0??(?)??1

? ??0,??1,2,…,p-1?p? (10-7)

假设码序列周期为P，码元宽度（常称为码片宽度，以便区别信息码元宽度）为TC，那么自相关系数是以PTC为周期的函数，如图10-2所示。图中横坐标以τ/TC表示，如τ/TC=1，则移位1比特，即τ＝TC；如τ/TC=2，则移位2比特，即τ＝TC，等等。

Pxx(?)-2-10-1/P1234P?Tc图10-2 m

序列的自相关函数

在??TC的范围内，自相关系数为

?(?)?1???p?1??? ??TC p??TC(10-8)

由图（10-2）所示，m序列的自相关系数在τ＝0处出现尖峰，并以PTC时间为周期重复出现。尖峰底宽2TC，TC越小，相关峰越尖锐。周期P越大，?1/P就越小。在这种情况下，m序列的自相关特性就越好。

由于m序列自相关系数TC的整数倍处取值只有1和－1/P两种，因而m序列称作二值自相关序列。 m序列的这种二值自相关系数的特性正是它应用在扩频码分多址系统的主要原因。由图10-2可知，如果序列的周期P足够大，在接收端的信号和发送端信号完全同步的情况下，接收端输出的信号电平就是峰值，而在其它的状态下接收机输出的信号平很小（如果P很大的话信号电平值近似为0），这正是所期望的情形。

下面通过实例来分析自相关特性

图10-3所示为4级m序列的码序列发生器。假设初始状态为0001，在时钟脉冲的作用下，逐次移位。D3?D4作为D1输入，则n＝4码序列产生过程如表10-2所示。

模2加C4D1D2D3D4信号输入时钟信号输出图10-3

4级m序列发生器

表10-2 4级m序列产生状态表

状态 时钟 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 D2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 D3 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 D4 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 D3?D4 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 输出序列 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 15 0 0 0 1 1 1 由图10-3所示的移位寄存器产生的4级m序列为：100010011010111，设此序列为m1。右移3比特后的码序列为m2：111100010011010，相应的波形如图10-4所示，同时为了进行自相关系数的计算，分别列出了m1序列是自身相乘的波形和m1?m2的波形。

比较m1和m2两个序列，相同码元的数目A=7，不同码元的数目D=8，则自相关系数

?x(3)?A?D7?811???，同理可得?x(0)?1。可以验证：当??0时，?x(?)?? 。 A?D7?81515A+10-1(a)移位之前的m序列mA+10-1(b)右移3Tc得到的m序列m2A+10-1(c)m1×m2A+10-1(d)m1×m11tttt

图10-4 4级m序列的自相关函数

3、m序列的互相关函数

两个码序列的互相关函数是两个不同码序列一致程度（相似性）的度量，它也是位移量的函数。当使用码序列来区分地址时，必须选择码序列互相关函数值很小的码，以避免用户之间互相干扰。

研究表明，两个长度周期相同，由不同反馈系数产生的m序列，其互相关函数（或互相关系数）与自相关函数相比，没有尖锐的二值特性，是多值的。作为地址码而言，希望选择的互相关函数越小越好，这样便于区分不同用户，或者说，抗干扰能力强。

在二进制情况下，假设码序列周期为P的两个m序列，其互相关函数Rxy(τ)为

Rxy(?)?A?D

(10-9)

式中，A为两序列对应位相同的个数，即两序列模2加后“0”的个数；D为两序列对应位不同的个数，即两序列模2加后“1”的个数。

为了理解上述指出的互相关函数问题，在此以n?5时由不同的反馈系数产生的两个m序列为例计算它们的互相关系数，以进一步讲述m序列的互相关特性。将反馈系数为(45)8和(75)8时产生的两个5级m序列分别记做：m1：1000010010110011111000110111010和m2：111110111000101011010000110100，序列m1和m2的互相关函数如表10-3所示。

表10-3序列m1和m2的互相关函数表

序列m1 序列m2 m1右移的码1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 元数目?（单位为1/TC） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Rxy(?) (n?1)/2??1?29 1 7 1 9 9 7 1 7 7 1 1 1 9 7 9 7 7 1 1 7 7 1 7 1 1 9 1 1 1 1Rxy(?)??(n?2)/2 ?1??2根据表10-3中的互相关函数值可以画出序列m1和m2的互相关函数曲线,如图10-5所示。

可以看出，不同于m序列自相关函数的二值特性，m序列的互相关函数是一个多值函数。在码多址系统中，m序列用作地址码时，互相关函数值越小越好。研究表明，m序列的互相关函数具有多值特性，其中一些互相关函数特性较好，而另一些则较差。在实际应用中，应取互相关特性较好的m序列作为地址码，由此便引出m序列优选对的概念。

图10-5 m序列的互相关函数曲线

满足下列条件的两个m序列可构成优选对：

(n?1)/2??1 n为奇数?2 Rxy(?)??(n?2)/2?1 n为偶数且n不能被4整除??2(10-10)

由表10-3可以看出，级数n?5的两个m序列（反馈系数分别为(45)8和(75)8可以构成优选对，因为它们的互相关函数值Rxy(?)?23?1?9。m序列优选对的概念在后面讲GOLD序列时将会用到。

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