上海市杨浦区高三数学一模考卷及答案2011.12.29(2)

?y?kx?1 -------① ??7分

又AM的斜率为

yyx,则有?k??1 ,既k??代入①

xxy故M点轨迹为y2?x2?y?0(x?0) (注:没写x?0扣1分) ??9分 另解:由上式①过定点P(0,1),?AM?(x,y),MP?(?x,1?y) ?AM?MP?0, 所以, ?x?x?y(1?y)?0, 既y2?x2?y?0(x?0) 【解2】设点M的坐标为?x,y?,AB方程为y?kx,由?BAC??2得AC方程为

y???y?kx1?11?2x,则?得, 同理可得CBk,k??,2? 2k?kk??y?x??122k?BC方程为y?k?()(x?k)恒过定点P(0,1),

1k?kk2? ?AM?(x,y),MP?(?x,1?y) ?AM?MP?0, 所以, ?x?x?y(1?y)?0, 既y2?x2?y?0(x?0)

(注:没写x?0扣1分)

（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】

若存在AB边所在直线的斜率为2的正三角形ABC,设A(p,p2),B(q,q2),

q2?p2(其中不妨设p?q), 则?2 , ?p?q?2 ------① ??11分

q?p令AB?a,则?q?p??q2?p222??2?a2,即?q?p???q?p?q?p22??2?a2

将①代入得,3?q?p??a2,

?q?p?a??p?q? -----------------② ??13分 3 线段AB的中点为M,由①, ②得M的横坐标为

p?q2?, 22 6

p2?q2?q?p???q?p?1a2M的纵坐标为??? ??15分

242122231?2aa?3??,(?MC?a??,?a) 又设d?1,2 由MC?d得MC???22223????

?21a2??2aa??22a2a1???????OC?OM?MC???2,2?12????2,?2???2?2a,12?2?2??????? 点C在抛物线x2?y上,则又因为a?0 , ?a?【解2】

设A(p,p2),B(q,q2),C(r,r2)

1212a?6a?6??1?a?,即5a2?18a?0, 122??18 ??18分 5?ABC的三边所在直线AB,BC,CA的斜率分别是

p2?q2q2?r2r2?p2?p?q,?q?r,?r?p ------① ??12分

p?qq?rr?p若AB边所在直线的斜率为2,AB边所在直线和x轴的正方向所成角为

?,?0?x?900?,则tan??2,

0??q?r?tan??60所以? ??14分 0??r?p?tan??60?????tan??tan6002?3q?r???1?tan?tan6001?6?即?0?r?p?tan??tan60?2?3?1?tan?tan6001?6?又p?q?tan??所以, AB?,?q?p?63-----② 52--------------③ ??16分

??q?p?2??q2?p2?2?q?p?2?1??q?p?2?

将②, ③代入上式得边长AB?18 ??18分 5（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） 文:

7

（1）【解】由a1?1，an?1?f?an??3an331,a3?,a4? ??3分 得a2?5732an?3（2）【解】由an?1?3an112 得 ?? ??8分

2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分

3?an?（3）【解】 由（2）得

122n?13 ??11分 ?1??n?1??,an?an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??13分

2?2n?12n?1?9?11111?9?1???1???????????1??

2?3352n?12n?1?2?2n?1?当n?2时 ，bn?an?1an?所以Sn?b1?b2?????bn?因为Sn?m?20129?1?m?2012?，所以?1?对一切n?N成立， ??16分 ??22?2n?1?2又

9m?20119?1?1?9?， 1??，所以????1??随n递增，且limn??222?2n?1??2n?1?2所以m?2020， ?mmin?2020 ??18分

8

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