2015年北京市高职高专大学生数学竞赛试卷

2015年北京市高职高专大学生数学竞赛试卷

考试时间：2015年 10 月 31日 星期六 9:00-11:30

一、填空题（本题共30分，每小题3分）

3sinx?xsin11. 若limxx?0x?1?cosx?? .

2.某产品销售量y是时间t的函数y?t2?1t?1，且tlim????y?at?b??0，则a? ，b? . 3.现有本金A0，以年利率r复利贷出（复利：指利息加入本金再获利息）.若一年计息一次，

则t年末的还款额A?1?r?t，若一年计息n期，以rt?A0n为每期利率，则t年末的还款额

ntA?A?r?t0??1?n??，若连续计息，则t年末的还款额为At? .

4. 设函数f?x?????1?ln?1?4x?,x?0在x?0处可导，则a? ，b? .

??a?bex, x?05. 由方程ey?xy?e确定的曲线在x?0处的法线方程为 .

6. 设y?f??x?1??x?1??，f??x??1dyx2，则dx? . 7. 若f(12x)?sinx，则f???x?? .

8. 若f(x)?e?x，则?f??lnx?xdx? . 9. 设lnx是f?x?的一个原函数，则?e1xf???x?dx?___________________.

10. 设f?x?在区间??a,a?上连续，则?a?ax2??f?x??f??x???dx?_______________.

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二、解答题（本题共36分，每小题6分）

11. 设f?x?是x的三次多项式，a是非零常数，且xlimf?x??2ax?2a?xlimf?x??4ax?4a?1，求xlimf?x?.

?3ax?2a

12. 计算lim1xln?1?t3?x?0x?sinx?0tdt.

13. 已知三次曲线y?x3?3ax2?3bx?c在x??1处取得极大值，点?1,3?是曲线的拐点，求常数a,b,c的值.

14. 计算?ln?1?x?dx.

1

15. 设f?2??1，f??2??0，?2f?x?dx?1，求?1x2f???2x?200dx.

18. 点?1,0?是抛物线y?1?x上的一点： （1）求该点处的切线方程；

（2）求由该切线与抛物线 y?1?x2以及y轴所围成的平面图形面积； （3）求由（2）中的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.

16. 若f?x?为可导函数，且满足?x 1etf?t?dt?exf?x??x2?x?1，求函数f?x?.

三、应用题（本题共20分，每小题10分）

四、综合题（本题共14分）

17.（文）一煤矿投资2000万元建成，开工采煤后，在时刻t的追加成本和追加收益分别为（单19. 设直线y?ax与抛物线y?x2所围成的图形面积记作A1，它们与直线x?1围成的图

位：百万元/年）.

22形面积记作A2，并且a?1.试确定a的值，使 A?A1?A2达到最小，并求出最小值.

G?t??5?2t3. ??t??17?t3

试确定该煤矿在何时停止生产可获得最大利润？最大利润最大是多少？

（理）某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为5m2，问底宽x为多少时才

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能使截面的周长为最小，从而使建造时所用的材料最省？

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