2013北京市海淀区高三第一学期期末数学理科试题纯word版有答案(2)

(Ⅱ) 因为f(B?C)?1,所以sin(B?C?又B?C?(0,π)，B?C?所以B?C?所

A?2π3π6)?1，

π6?(π3π7π,) 66π6?π2,B?C?，

以

??????10分

由正弦定理把

sB?12sinBb?sinAa

代

入

，

得

到

a?3,b?1 i n ??????

12分

又

C?π6b?a,B?A，所以

B?π6，所以

??????13分

16.（本小题满分13分） 解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数出租天数为3天的A,B型车辆数总和?3030?20?0.6

这辆汽车是A型车的概率为0.6 ??????3分

（II）设“事件Ai表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i天”，

“事件Bj表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i,j?1,2,3,...,7 则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

P(A1B3?A2B2?A3B1)?P(A1B3)?P(A2B2)?P(A3B1) ??????5分

?P(A1)P(B3)?P(A2)P(B2)?P(A3)P(B1) ??????7分

?

?

?100912552010203014????100100100100

100高三数学（理科）试题第6页（共4页）

该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

125 ??????9分

7 0.02 9（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为

X P

1 0.05 2 0.10 3 0.30 4 0.35 5 0.15 6 0.03 设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为

Y P 1 0.14 2 0.20 3 4 0.16 5 0.15 6 0.10 7 0.05 0.20 E(X)?1?0.05?2?0.10?3?0.30?4?0.35?5?0.15?6?0.03?7?0.02 =3.62

E(Y)?1?0.14?2?0.20?3?0.20?4?0.16?5?0.15?6?0.10?7?0.05

=3.48

??????12分

一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ??????13分

17.（本小题满分14分）

(I) 连接A1C交AC1于点O，连接EO

因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点， 又E为CB中点，所以EO为?A1BC的中位线， 所以EO//A1B

??????2分

又EO?平面AEC1，A1B?平面AEC1 所以A1B//平面AEC1

??????4分

（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系 所以A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0),

??????????M(0,0,m)(0?m?2) 设，所以B1M?(?2,0,m?2),C1E?(1,?1,?2)，

高三数学（理科）试题第7页（共4页）

因为

B1M?C1E，所以

??????????B1M?C1E?0，解得m?1，所以

AM?1 ??????8分

????????? （Ⅲ）因为AE?(1,1,0),AC1?(0,2,2)，

设平面AEC1的法向量为n?(x,y,z)，

??????AE?n?0?x?y?0??? 则有?????，得?，

y?z?0AC?n?0???1? 令

y??1,则

x?1,z?1，所以可以取

?n?(1,?1,1)， ??????10分

因为AC?平面AB11B,A取平面AB11B的A法向量为

????AC?(0,2,0) ??????11分

所

c??A?A?|A?33o以

??CC ? ?

C| ??????13分

33平面

AEC1与平面AB11B所A成锐二面角的余弦值为

??????14分

18. （本小题满分13分） 解

：

当

a?1时，

f(x)?eaxx?1，

f'(x)?e(x?2)(x?1)2x ??????2分

又f(0)??1，f'(0)??2， 所

以

f(x)在(0,f(0))处的切线方程为

y??2x?1 ??????4分

e[ax?(a?1)](x?1)2ax（II）f'(x)?

当a?0时，f'(x)?

?1(x?1)2?0

高三数学（理科）试题第8页（共4页）

又函数的定义域为{x|x?1} 所

以

f(x)的单调递减区间为

(??,1),(1,??) ??????6分

a?1a当 a?0时，令f'(x)?0，即ax?(a?1)?0，解得x?分

当a?0时，x?a?1a?1，

??????7

所以f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x (??,1) 1 (1,a?1a? ) a?1a (a?1a,??) f'(x) f(x) ? 无定义 a?1a0 极小值 ? ? ? ? 所以f(x)的单调递减区间为(??,1)，(1,)，

单调递增区间为(a?1a,??) ??????10分

当a?0时，x?a?1a?1

所以f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x (??,a?1a? ) a?1a (a?1a,1) 1 (a?1a,??) f'(x) f(x) 0 极大值 a?1a? 无定义 ? ? ? ? 所以f(x)的单调递增区间为(??,)，

高三数学（理科）试题第9页（共4页）

单调递减区间为(a?1,1)，(1,??) ??????13分

a 19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）将E?2,2?代入y2?2px，得p?1

所以抛物线方程为

y2?2x，焦点坐标(12, 0 ) ??????3分 22（Ⅱ）设A(y12,y1)，B(y22,y2)，M(xM,yM),N(xN,yN)，

法一：

因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率 设直线l方程为y?k(x?2)

与抛物线方程联立得到 ?y?k(x?2)?2，消去x，得：

?y?2xky2?2y?4k?0

则由韦达定理得：

y1y2??4,y1?y22?k ??????6分 直线AE的方程为：y?2?y1?2y2?x?2?，即y?212y1?2?x?2??2，

2?令x??2，yy1?4M?2y1?2 ??????9分 同理可得yy2?4N?2y2?2 ??????10分 ?????????又 OM?(?2,y?4m),ON?(?2,y)， m

高三数学（理科）试题第10页（共4页）

为

得

：

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