高三后期复习对策达州市第一中学_8(2)

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7,?构成的数列为{bn},b1?a1?1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足

2bn?1(n?2). 2bnSn?Sn （1）证明：数列{1}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式；

Sn （2）上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当

4a81??时,求上表中第k（k≥3）行所有项的和.

91n2a1?3n?11*?n?N 4、已知数列?an?的前n项和为Sn，首项a1满足lim，，且当n?2时，有

n??2n2?n?142Sn2?1?2anSn?1?an?0． （Ⅰ）求a1和Sn； （Ⅱ）设Tn?a2?a4?a6???a2n(n?2)，求Tn?Sn的值

a1?a3?a5???a2n?1例3、已知等比数列?an?各项均为正数，且公比不等于1，数列?bn?对任意正整数n，均有（(bn?1?bn?2)?log2a1?(bn?2?bn)?log2a3?(bn?bn?1)?log2a5?0）成立，又b1?1，b7?13. （1）求数列?bn?的通项公式及前n项和为Sn；

（2）在数列?bn?中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，．．．．．．，第2n?1项，．．．．．．，组成一个新数列?cn?，求数列?cn?的前n项和为Tn；

（3）当n?3时，试比较Tn与Sn的大小．

方法总结：本题涉及等差、等比数列的基本运算，对“超越型”数列不等式，通常采用数学归纳法或构造辅助函数来判断或证明；对等差、等比数列综合问题，需要理清思路，把复杂问题分解为若干小问题来处理。

变式延伸：

设计思路：在等差、等比数列的综合问题中如何紧抓问题的关键（如各自的通项），如何寻求知识间纵向的、横向的联系（如变2中的不等式恒成立问题）。 1、若数列?an?的首项a1?2a?1（a为常数，且a??1），an?2an?1?n2?4n?2(n?2)，数列?bn?的首项

b1?a,bn?an?n2(n?2)．

（1）证明：?bn?从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设Sn为数列?bn?的前n项和，且数列?Sn?为等比数列，求实数a的值； （3）当a?0时，求数列?an?的最小值.

2、已知函数f(x)?logax(a?0,a?1)，设f(a1)、f(a2)、．．．、f(an)(n?N?)是首项为４，公差为２的等差数列．

（１）设a为常数，求证：数列?an?为等比数列；

（２）若bn?an?f(an)，数列?bn?的前n项和为Sn，当a?2时，求Sn；

（３）令cn?an?lgan，问是否存在实数a，使得数列?cn?中每一项恒小于它后面的项，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

反思与小结

第二讲 递推数列与数列综合问题

一、考点梳理：

1、数列通项公式的求法

公式法、叠加法、叠乘法、构造新数列（待定系数法）、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法

2、数列求和

分解转化 倒序相加 错位相减 裂项相消

3、数列与不等式、归纳法；数列与函数、导数；数列与解析几何等知识的交汇 二、经典例题：

1n?1例1、在数列?an?中，a1?1,an?1?(1?)an?n.

n2a（1）设bn?n，求数列?bn?的通项公式；

n（2）求数列?an?的前n项和为Sn.

方法总结：叠加法、叠乘法是求数列通项公式的重要方法，是高考考查的热点。

变式延伸：

设计思路：与叠加法、叠乘法一样，高考中对根据递推关系来构造新的（等差或等比）数列获得问题突破和解决的考查更是将能力考查提高到一个新高度，以增强试题的区分度。其中，对

an?1?qan?p(pq?0,q?1)及an?1?qan?f(n)求通项的情形需要我们认真对待。

1、已知数列?an?满足an?1?2an?3，a1?2，则an? ； 2、已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，则an? ； 3、已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，则an? ；

24、已知数列{an}中，a1?1,an?1?an?4an?2.

（Ⅰ）设数列{bn}满足bn?log3(an?2)，求证数列{bn}是等比数列；

n（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

411（Ⅲ）设数列{cn}满足cn?，求数列{cn}的前n项和为Tn。 ??an?2anan?4

28例2、已知数列?an?中，a1?,a2?，且当n?2,n?N时，3an?1?4an?an?1．

39（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）记?ai?a1?a2?a3???an(n?N?).

i?1n

（1）求极限lim?(2?a2i?1)；

n??i?1n（2）对一切正整数n，不等式??ai?1(??N)恒成立，求?的最小值．

i?1n

方法总结：对二阶线形递推数列，一般采用构造新数列、迭代或利用特征根的方法来求得数列通项。本题集构造新数列（或迭代）、新定义（新情景）、数列极限、不等式恒成立、数学归纳法等于一体，对数学思维素养要求颇高。

变式延伸：

设计思路：完善an?1?qan?p型（尤其是p?0）等递推关系中通项的求法

man?r3an,a1?2，则an? ；

2an?3an,a1?2，则an? ；

2an?31、已知数列?an?满足an?1?2、已知数列?an?满足an?1?3、（2009年江西卷22题）各项均为正数的数列{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数

m,n,p,q都有

（1）当a?

ap?aqam?an?.

(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)14,b?时，求通项an； 25例3、已知数列{an}，an?0,a1?0，an?12?an?1?1?an2（n?N?）.记数列{an}前n 项和为Sn，Tn?111????. 1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)（1）求证：an?an?1； （2）Sn?n?2； （3）Tn?3.

方法总结：数列型不等式的证明通常数学归纳法、比较法、综合分析法、放缩法等方法，其中，对放缩法的要求往往很高，需要有很高的理性思维能力。

变式延伸：

设计思路：常见的放缩方法值得我们去总结、归纳，进而逐步形成优秀学生对不等式放缩的一些解题经验。

1、数列{an}前n项和为Sn，a1?0,a2?p（常数p?0），对任意n?N?，Sn?（1）求a的值；

（2）试确定数列{an}是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由； （3）令pn?Sn?2Sn?1，证明：2n?p1?p2???pn?2n?3． ?Sn?1Sn?2n(an?a1). 2

2、设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?（I）求数列?bn?的通项公式；

4?an(n?N*)。 1?an（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn?3； 2（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。

a1?lim3、 已知数列?an?，若点(an,an?1在过且以为方向向量的直线上，)(1,1)m?(1,2)3x?3?n?N，．

x?1x2?1（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）求证：a1?a2?a3?????an?e（其中e为自然对数的底数）；

(p?1)(p?1)n(an?1)（其中p?1）（Ⅲ）记 bn?，数列?bn?的前n项和为Sn，求证：

p(pn?1)(2n?1)bn剟S2n?12n?1p?1??p?1???1????． p?1?2p?????4、已知函数f(x)=x3+x2，数列{xn}(xn>0)的第一项x1=1，以后各项如下方式取定：曲线y=f(x)在点

(xn+1,f(xn+1))处的切线与经过(0，0)和(xn,f(xn))两当n?N*时，

22（I）xn+xn=3xn+1+2xn+1；

点的直线平行（如图），求证：

11（II）()n-1＃xn()n-2.

22

反思与小结

下面附一个方法专题展示

等价转化与化归思想举例

?x?1?sin2?1、已知曲线E上的点(x,y)满足参数方程??为参数?，直线 l1:x?m(y?2)?0，l2:x?ny?1?0，??y?2cos?则下列说法正确的是

(A) l2与曲线E相交所得的弦长为8的直线存在且有两条 (B) m?0是l1与曲线E的相切的充分不必要条件 (C)若(x,y)为曲线E上的点，则y2?x2的最大值为3

(D) 与曲线E相交所得弦的中点为(2,2)的直线方程为x?y?0

2、已知函数f(x)?lnax(a?0)． 2x

（Ⅰ）求函数f(x)的定义域及单调区间；

x??（Ⅱ）当a?1时，若t??x|f?()(ax?1)?0?，且方程f(t)?am恒有实数解，求实数m的取值范围．

a??

p?e2?2e?p3、已知函数f?x??px??lnx，g?x??lnx??1??，其中无理数e?2.71828?．

x?p2?x（Ⅰ）若p?0，求证：f?x??1?x；

（Ⅱ）若f?x?在其定义域内是单调函数，求p的取值范围；

（Ⅲ）对于区间（1，2）中的任意常数p，是否存在x0?0使f?x0??g?x0?成立？若存在，求出符合条件的一个x0；否则，说明理由．

参考答案

1、解．（Ⅰ）由f(m?n)??f(m)???f(n)?得：f(0)?f(0?2)?f(2)0?40?1。

f(2)?f(1?2)??f(1)??4,又f(x)?0,?f(1)?2，f(?1)?f(1)?2.

2nm?kx?2kx?2?2kx?2)??2?f()?f()?f(1)， （Ⅱ）?f(2222x?4x?4?2x?4?又当x?0时，其导函数f?(x)?0恒成立 ，y?f(x)在区间?1，???上为单调递增函数，

2kx?2x2?4)?1?kx?2?x2?4?（1?k2)x2?4kx?0，

①当k?1时，x????,0?； ②当k??1时，x??0,???； ③当k?0时，x??0?； ④当?1?k?0时，x(x?4k4k?4k?)?0?0?x?,?x?0,2?； 22?1?kk?1?k?1?⑤当0?k?1时，x(x?4k4k?4k?。 )?0??x?0,?x?,02??1?k2k2?1k?1??综上所述，当k?1时，x????,0?；当k??1时，x??0,???；当k?0时，x??0?；

4k??4k??当?1?k?0时，x??0,2?；当0?k?1时，x??2,0?。

?k?1??k?1??ax?02、解：（Ⅰ）由题意，有? ， 因为a?0

?x?0) ． 所以，函数f(x)的定义域为x?(0,??. ．．．．．．．．．．．2分

?f?(x)?x(1?2laxn)，x?(0,?? )x4

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