材料力学习题大全及答案(4)

5?10?213

Wy??10?9??10?6m

61210?5213

Wz??10?9??10?6m

624 FNx = 1 kN

My?1000?5?10?3?5N·m Mz?1000?2.5?10?3?2.5N·m ?max?FNxMyMz?? AWyWz????100052.5?????106?140MPa ?11??50??1224?? 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图（a）所示。

3－17 钢制立柱上承受纵向载荷FP如图所示。现在A、B、D三处测得x方向的正应变?x(A)??300?10?6，?x(B)??900?10?6，?x(D)??100?10?6。若已知钢的弹性模量E = 200GPa。试求：

1．力FP的大小；

2．加力点在Oyz坐标中的坐标值。 解：A?100?60?10?6?6?10?3m2

60?10023

Wz??10?9?100?10?6m

6100?60?23

Wy??10?9?60?10?6m

6 FNx??FP

Mz?FP?y My??FPy ?A?FNxMzMy?FFy?FPz???(P?P?)?106 （1） AWzWy600010060习题3-17图

?B?( ?D?FPFy?FPz?P?)?106 600010060?FFyFz?(P?P?P)?106 600010060（2） （3） （4）

??E? 由（1）、（4），(yz?1?P?P)?106?FP?200?109?(?300?10?6) 600010060yz?1?P?P)FP??60 即 (（5） 600010060zy?1??P)FP??180 由（2）、（4），(（6） 600010060yz?1?P?P)FP??20 由（3）、（4），(（7） 600010060 解（5）、（6）、（7）：zP?0.02m?20mm

yP??0.025m??25mm FP = 240 kN

3－18 矩形截面柱受力如图所示，试证明： 1．当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A的正应力等于零：

zPyP??1 bh66习题3-18图

AD — 73 —

CzhFPK(yP.zP)B(y.z)F 2．为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。

解：1．写出K点压弯组合变形下的正应力（图a）。 ???FP(FP?zP)?z(FPyP)?y ??Ahb3bh31212????FP?zPyP? ???1?2z?2y? （1）

hbbh??1212??hb 将A(?,?)代入（1）式，并使正应力为零，

22n得FP所作用的直线方程

zy 1?P?P?0

bh66zy 整理得：P?P?1

bh66zotCyotzFPny(b)

2．若FP作用点确定，令（1）式等于零，

得截面的中性轴方程（图b）：

1?zPb212z?yPh212y?0 （2） （3）

h??y0t??6y?P 中性轴n－n的截距：?

h?z??0t?6zP?12C2 说明中性轴n－n，与力FP作用点位于形心

C的异侧，说明n－n划分为FP作用下的区域为压应力区，另一区域是拉应力区（见图b）。 如果将（2）改写为

yzz?2yP??1（4） 2Pbh1212FP2FP1z1z

(c)

并且把中心轴上一点（y, z）固定，即中性

轴可绕该点顺时针转动（从1―1转到2―2） 由（4）式，FP作用必沿直线移动。由（3）式，2－2直线的截距值大于1－1直线的。所以，当中性轴1－1顺时针转向中性轴2－2时，FP作用点FP1、FP2沿直线，并绕形心也顺时针转向。

如果中性轴绕A点从1―1顺时针转动至3―3（中性轴始终在截面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A坐标代入（4）式：

zPyP??1，即FP沿该直线移动。从FP1bh6613A23FP12z→FP2→FP3，反之铅垂力FP从FP1→FP2→FP3直线移动，截

面不产生拉应力，同理过B、F、D分别找另三条FP移动的BF直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂压力在截面核y心内作用，则横截面上不会有拉应力。

(d) 3－19 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力FP的作用线通过截面形心。试：

— 74 —

FP3FP2

1．已知FP、b、h、l和?，求图中虚线所示截面上点a的正应力； 2．求使点a处正应力为零时的角度?值。

hb2?，Wy? 解：My?FPlsin

6bh2 Mz?FPlcos?，Wz?

6MM6lF ?a?z?y?2P2(bcos??hsin?)

WzWybh 令?a?0，则tan??bb，??tan?1 hh习题3-19图

3－20 矩形截面柱受力如图所示。试：

1．已知?= 5°，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。 2．求使横截面上点b正应力为零时的角度?值。

s 解：FNx?FPco? My(a)?FPsin??0.04

My(b)?2My(a)，My(c)?3My(a)

FNxMyFcos?0.04FPsin???P? AWy0.1?0.040.1?0.0426FP?(cos??6sin?)0.1?0.04

60?103?(cos5??6sin5?)0.004 ?7.10MPa

2My(a)60?103F?(cos5??12sin5?)??0.745MPa ?b?Nx?AWy0.004 1．?a?

习题3-20图

?c? 2． ?b?FNx3My(a)???8.59MPa AWyFNx(cos??12sin?)?0 A1 tan??，?= 4.76°

12 3－21 交通信号灯柱上受力如图所示。灯柱为管形截面，其外径D = 200mm，内径d = 180mm。若已知截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K处的正应力。 解：tan?? FNy ?H? ?K3.25，?=22.62° 7.8??(400?900?1950cos?)??6700N

习题3-21图

Mz?1950sin??(7.8?0.6)?900?2.1?3510N·m

FNx?6700???1.12MPa πA22(0.2?0.18)4FNyMz3510????1.12??11.87MPa

πAWz34?0.2(1?0.9)32 3－22 No. 25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。

解：A?48.5?10?4m2 Wz?401.88?10?6m3

— 75 —

习题3-22图

Wy?48.283?10?6m3 FNx??100kN

Mz?100?103?0.125?25?103?0.5?25?103N·m My?(8?2)?103?0.6?9.6?103N·m

Mz?62.6MPa WzMyWy?199MPa

dMzCMyFNx??20.6MPa AFM ?a?Nx?z?41.6MPa

AWz ∴ ?c?z ?b? ?d?FNxMzMy???240MPa AWzWyFNxMzMy???116Mpa AWzWyay(a)

b

3－23 承受集度为q = 2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm的半圆形。梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。

解：qy?qcos20?，qz?qsin20?，yc?

Mzmax1?qy?1?qy?1?2

11?qy?qcos20??940N?m221?qsin20??342N·m 22d 3π

习题3-23图

qyAqyBCqyBAMz(N.m) Mymaxqy2?939.7N.m1πd41π?1604?10?124

Iy????16.1?10?6m

2642641πd4πd22d24

Iz???()?4.4956?10?6m

26483πMydM??z?yc?? ?maxIzIy2AqZ

qy(a)

BCqZAMyB342N?m ?(9402?0.16342???0.08)?10?6 ?6?63π4.4956?1016.1?10yC

(b)

?8.80MPa（左下角A点）

最大压应力点应在CD弧间，设为?? ????????Mzmax(Rsin??yc)Iz?Mymax?Rcos??? （1）

Iy??DRCyC yC?B

MzmaxIy940?16.1?10?6d????9.834 ?0，得：tan??IzMymaxd?4.4956?10?6?342A (c)

??84.19?代回（1）式，

? ?max2?160?)?10?3?940(80sin84.19??342?80cos84.19??10?33π?????4.4956?10?616.1?10?6??????10?6??9.71MPa ??? 3－24 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求N－Ｎ截面上a、b、c三点的正应力及最大拉应力。

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解：MN?N?30kN·m

yc?160?20?10?2?180?20?90160?20?2?180?20

16?2?2?18?2?9??65.38mm1.6?2?2?1.8?2160?203Iz?(?160?20?55.382)1220?1803?20?180?(90?65.38)2) ?2(12 ?33725128mm4?33.725?10?6m4 ?c? ?b? ?a?30?10333.725?10?63000033.725?10?6?0.05538?49.3MPa（压应力）

?(180?65.38?80)?10?3?30.8MPa（拉应力）

30?10333.725?10?6?(180?65.38?40)?10?3?66.4MPa（拉应力）

?(180?65.38)?10?3?102MPa（拉应力）

?max??d?30?10333.725?10?6 3－25 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0或Mz = 0，FNx?0； （B）My = Mz = 0，FNx?0； （C）My = 0，Mz = 0，FNx?0； （D）My?0或Mz?0，FNx?0。

正确答案是 D 。

解：正如教科书P168第2行所说，只要FNx?0，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选（D）。

3－26 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心；

（D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。

解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D）。 3－27 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。

（A）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心； （B）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心； （C）My?0，Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心； （D）My?0或Mz?0，FNx?0，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心。 正确答案是 B 。

解：本题解答理由参见原书P167第2-3行。

3－28 承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图a、b、c所示。图a中的截面为一整体；图b中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图c中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为?max(a)、?max(b)、?max(c)。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。 （A）?max(a)＜?max(b)＜?max(c)； （B）?max(a)＝?max(b)＜?max(c)； （C）?max(a)＜?max(b)＝?max(c)； （D）?max(a)＝?max(b)＝?max(c)。

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