2011年数学竞赛决赛非数学类详细答案(2)

4?31?3??3? ???2???2?4?223?2x,??(2)方法一： ??222x?9y?z3yx?9y?z22222,??zx?9y?z

222

3??I2???z??x?3?y??z?dS???zx?9y?zdS?I1?2SS2方法二（将一型曲面积分转化为二型）：

I2???z??x?3?y??z?dS???xzdydz?3yzdzdx?z2dxdy

SS记?:z ?0,x2?3y2?1,?:x2?3y2?z2?1?z?0?，取面?向下，?向外，

由高斯公式得：I2???xzdydz?3yzdzdx?z2dxdy????6zdV

???I2????6zdV，求该三重积分的方法很多，现给出如下几种常见方法：

?① 先一后二：I2??62x?3y?1??2d??1?x2?3y20zdz?32x?3y2?1??221?x?3y??d?

?12?d??201013?2r?1?r?dr?231

163?2d????z?1?z?dz?②先二后一：I2?6?zdz??0023222x?3y?1?z

?124?3?3222③广义极坐标代换：I2? d??d??rsin?dr??00023、六．（本题12分）设f(x)是在???,???内的可微函数，且f?x??mf?x?，其中

0?m?1，任取实数a0，定义an?lnf?an?1?,n?1,2,...,证明：??an?an?1?n?1?绝对收敛。

?an?1?lnf?an?1??lnf?an?2?

由拉格朗日中值定理得：??介于an?1,an?2之间，使得

f'???lnf?an?1??lnf?an?2???an?1?an?2?

f???证明：an?an?an?1?f'???f????an?1?an?2?，又f、????mf???得

f'???f????m

?an?an?1?man?1?an?2?...?mn?1a1?a0?0?m?1

?级数?mn?1n?n?1a1?a0收敛，?级数

?an?1?n?an?1收敛，

即

??an?1??an?1?绝对收敛。

满足f?0??f?2??1， ?0,2?上的连续可微函数f(x)，

2七．（本题15分）是否存在区间

?x??1,?0f?x?dx?1？请说明理由。

解：假设存在，当x??0,1?时，由拉格朗日中值定理得： ??1介于0，x之间，使得f?x??f?0??f'??1?x,， 同理，当x??1,2?时，由拉格朗日中值定理得：

??2介于x，2之间，使得f?x??f?2??f'??2??x?2?

''即f?x??1?f??1?x,x??0,1?;f?x??1?f??2??x?2?,x??1,2? ??1?f、?x??1，

?1?x?f?x??1?x,x??0,1?;x?1?f?x??3?x,x??1,2?

2显然，f?x??0,?f?x?dx?0

0f、1???1?x?dx???x?1?dx??f?x?dx???1?x?dx???3?x?dx?312212??f?x?dx?1，又由题意得?f?x?dx?1,??f?x?dx?1

00002100122??1?x,x??0,1?即?f?x?dx?1，?f?x???

0??x?1,x??1,2?f?x??f?1?f?x??f?1?x?11?x?lim?lim?1,lim?lim??1 ????x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1?f'?1?不存在，又因为f(x)是在区间?0,2?上的连续可微函数，即f'?1?存在，矛盾

2故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。

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