2011年7月高数1试题

2011年7月高数1（下）试题

一、 选择题（4分*4）

1.z?f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数?z?z,存在是函数在该点可微的( ）条件.?x?y

A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要11-y-1-y0-11-y-22.二次积分?dy?0f(x,y)dx??dy?1-y2f(x,y)dx交换积分次序 后为( ). A. ?dx?-1111?x-221-x1-x2f(x,y)dy B. ?dx?-1111?x21-x?2f(x,y)dy2 C. ?dx?-11-x2f(x,y)dy D. ?dx?-11-x21-xf(x,y)dy3.设具有质量的曲线弧 L 的参数方程为x=t,y? 线密度为 u(x,y,z)=2y，则它的质量为( ). A. ?t012t22,z?t33(0?t?1),1?t?tdt B. ?t1?t?tdt 024124 C. ?101?t?tdt D. ?2410t1?t?tdt244.下面级数发散的是( ).? A. ?n=01?n1?n2? B. ?n=1n32n? C. ?(?1)n=1n1n? D. ?(n=112n?13n )二. 填空题（4分*6）

?????1. 若a?(2,1,2),b?(4,?1,10),c?b??a??，且a?c，则?? .

2.

(x,y)?(0,0)lim1?xy?1xy= .

3.

?y?设z????x?2y,则

?z?x(1,1)? .

4. 设某金属板上电压的分布为V?50?x2?4y2,在点(1,?2)处，沿着 方向，电

压升高得最快. 5.

?1?1dx?xln(1?y)dy? .

32246. 设f(x)是周期为2?的周期函数，在[??,?)上的表达式为f(x)???x,?0,???x?00?x??，则

f(x)的傅里叶级数在x?0处收敛于 .

三.（10分）一平面通过两点A(3,0,0)和B(0,0,1)且垂直于平面x?y?z?0，求它的方程. 四.（10分）已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f(x,y)?100x341式中x代表劳动力数量，y4,，

y代表资本数量，函数值表示生产量.每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元和250元。该

制造商的总预算是50000元。问他该如何分配这笔钱于雇用劳动力与资本，以使生产量最高。

五.（10分）椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好近似。若湖面的边界为椭圆，以湖面为xOy面，椭圆中心为坐标原点，过原点垂直于湖面的轴为z轴，向上的方向为z轴正向，则椭圆方程为xa22?yb22???1, 椭球正弦曲面方程为f(x,y)??Hcos??2?222y?xy?2?,(2?2?1)其中H为湖2ab?ab?x2的最大水深。现已知某湖泊湖面的边界为圆（a?b?0）求湖水的总体积。

六.（10分）计算曲线积分?sin2xdx?2(xL的一段。

2其中L是曲线y?sinx从点(?,0)到点(0,0)?1)ydy，

七.（10分）计算曲面积分????xdydz?八.（10分）将函数f(x)?

ydzdx?zdxdy,?为立体??[0,a]3的表面的外侧。

1x?3x?22展开成x?3的幂级数，并讨论其收敛域。

答案：

一. B A A A

二．1. 3 2. ?12 3. ?2

4. (?2,16) 5. 0 6.0

三．x?4y?3z?3?0

四．最大值f(250,50)?16719 五．4Ha2(1?六．

?22?)(提示：V=???f(x,y)dxdy)

D2

七．3a3（提示：利用高斯公式） 八．f(x)?1x?3x?22?1x?1?1x?2???n?0(1?12)(x?3),n?1n|x?3|?1

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