初等数论总复习题及知识点总结(3)

a1x1?a2x2??anxn?c有解的条件，在有解的条件下的解法。

2、掌握不定方程x2+y2=z2在一定条件下的通解公式，并运用这个通解公式作简单的应用。 3、对费尔马大定理应有在常识性的了解，掌握无穷递降法求证不定方程x4+y4=z2无解的

方法。

4、掌握证明不定方程无解的若干方法。

三、难点和重点

（1）重点为求解一次不定方程的方法 （2）掌握第二节中引证的应用。 （1） 费尔马无穷递降法。 四、自学指导

不定方程主要讲解以下几个问题

（i）给定一类不定方程，判别在什么条件下有解。 （ii）在有解的条件下，有多少解 （iii）在有解的条件下，求出所给的不定方程的所有解。 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c 。若(a ,b)∣c，则该二元一次不定方程一定有解，若已知一个特解，则一切解可以用公式表示出来，因此求它的通解只要求出一个特解即可。求解二元一次不定方程的一个通解有好多种方法。读者应该总结一下，各种方法都有独到之处。特别要指出用最大公因数的方法。它的根据是求（a ,b）时所得的结果。由于注意通解公式x=x0-b1t，y=y0+a1t中a1，b1的意义和位置。以免出错。

多元一次不定方程a1x1?a2x2??anxn?c也有类似的结果，但在求解的过程中将它转化二元一次不定方程组，从最后一个二元一次不定方程解起，可逐一解出x1 ,x2 ,??xn 。所用的方法一般选择最大公因数的方法。由于n元一次不定方程可转化为n-1个二元一次不定方程组，故在通解中依赖于n-1个任意常数。但不象二元一次不定方程那样有公式来表示。

x2+y2=z2的正整数解称为勾股数，在考虑这个方程时，我们对（x ,y）作了一些限制，而这些限制并不影响其一般性。在条件x>0，y>0，z>0，（x，y）=1，2∣x的条件可以给出x2+y2=z2

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的通解公式，x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。若将2∣x限为2∣y，则也有相应的一个通解公式。在证明这个通解公式的过程中，用到了引理 uv=w2，u>0，v>0，（u ,v）=1，则u=a2，v=b2，w=ab 。a>0，b>0，（a ,b）=1 。利用这个结论可以求解某些不定方程。特别当w=1或素数p 。则由uv=1或uv=P 可将原不定方程转化为不定方程组。从而获得一些不定方程的解。上述解不定方程的方法叫因子分解法。希望读者能掌握这种方法。

为了解决著名的费尔马大定理：xn+yn=zn ，n?3无正整数解时，当n=4时可以用较初等的方法给出证明。证明由费尔马本人给出的，一般称为费尔马无穷递降法。其基本思想为由一组解出发通过构造得出另一组解，使得两组解之间有某种特定的关系，而且这种构造可以无限重复的。从而可得到矛盾。因此无穷递降法常用来证明某些不定方程无整数解。

证明一类不定方程无解是研究不定方程邻域中常见的形式，一般的要求解不定方程比证明不定方程无解要容易些。证明不定方程无解的证明方法常采用以下形式：（反证法）

若A有解?A1有解?A2有解????An有解，而An本身无解，这样来构造矛盾。从而说明原不定方程无解。

对于证明不定方程的无解性通常在几种方法，一般是总的几种方法交替使用。特别要求掌握：简单同余法、因子分解法、不等式法，以及中学数学中所涉及的判别式法。

五、例子选讲

例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x+10y+6z=61。 解：注意到z的系数最小，把原方程化为

z=1(?15x?10y?61)??2x?2y?10?1(?3x?2y?1)

66令t1=1(?3x?2y?1)?z，即-3x+2y-6t1+1=0

6此时y系数最小，?y?1(3x??6t1?1)?x?3t1?1(x?1)

22令t2 =1(x2?1)?z,即x?2t2?1,反推依次可解得

y=x+3t1+t2=2t2+1+3t1+t2=1+3t1+3t2 z=-2x-2y+10+t1=6-5t1+10t2

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?x?1?2t2∴原不定方程解为??y?1?3t1?3t2t1t2∈z.

?z?6?5t?10t12? 例2:证明证：假设

22是无理数

是有理数，则存在自数数a,b使得满足x22,又得到?2a1?2y2即a2?2b2，容易知道a是偶数，

2?2b1设a=2a1，代入得b2b为偶数，a1?b?a，设b?2b1，则a12,这里b2?a1

这样可以进一步求得a2，b2…且有a>b>a1>b1> a2>b2>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴

例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。

证：设N=3m±1(m为整数) ， ∴N2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1

即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k+1,或者说3k+2不可能是平方数，设x,y为勾股整数，且x,y都不是3的倍数，则x2,y2都是3k+1，但z2=x2+y2=3k+2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。

例4：求x2+y2=328的正整数解

解：∵ 328为偶数，∴x,y奇偶性相同，即x±y为偶数，设x+y=2u, x-y=2v，代入原方程即为

u2+v2=164,同理令u+v=2u1,u-v=2v1有

22u1?v1?82,u1?v1?2u2,u1?v1?2v22为无理数。

0

22u2?v2?41,u2,v2为一偶一奇，且

u2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4） ∴原方程解x=18,y=2,或x=2,y=18。

例5：求x2+xy-6=0的正整数解。 解：原方程等价于x(x+y)=2·3,故有 ∴?

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?x?2,

x?y?3,?

?x?3, ?x?y?2,?

?x?1, ?x?y?6,?

?x?6, ?x?y?1.? ， ∴ 即有x=2,y=1; x=1,y=5.

例6：证明不定方程x2-2xy2+5z+3=0无整数解。 解：若不定方程有解，则x?y2?y4?5z?3

但y4≡0，1(mod5), ∴ 对y,z ，y4-5z-3≡2，3(mod5) 而一个平方数≡0，1，4（mod 5） ∴ y4-5z-3不可能为完全平方，即

例7：证明：x2?y2?z2?8a?7无整数解

证：若原方程有解，则有x2?y2?z2?8a?7(mod8)

注意到对于模8，有

y4?5z?3不是整数，所以原不定方程无解。

02?0,12?1,22?4,32?1,42?0,52?1,62?4,72?1, 因而每一个整数对于模8，必同余于0，1，4这三个数。 不论x2,y2,z2如何变化，只能有x2?y2?z2?0,1,2,3,4,5,6(mod8)

而8a?7?7(mod8)，故8a?7不同余于x2?y2?z2关于模8，所以假设错误，即

8a?7?x2?y2?z2，从而证明了原方程无解。

例8:某人到银行去兑换一张d元和c分的支票，出纳员出错，给了他c元和d元，此人直到用去23分后才发觉其错误，此时他发现还有2d元和2c分，问该支票原为多少钱？ 解：由题意立式得：100c?d?23?100?2d?2c

即98c?199d?23.

令u?c?2d得98u?3d?23, 令v?33u?d得3v?u?23.

所以u?3v?23(v为任意整数），代入得：

d?33u?v?98v?33?23,（1） c?u?2d?199v?67?23,

其中v是任意整数。又根据题意要求：d?0,0?c?100.

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根据(1)，仅当v=8时满足此要求，从而d?25,c?51. 因此该支票原为25元51分.

? 第三章 同余 一、主要内容

同余的定义、性质、剩余类和完全剩余系、欧拉函数、简化剩余系、欧拉定理、费尔马小定理、循环小数、特殊数2，3，4，5，6，7，8，9，11，13的整除规律

二、基本要求

通过本章的学习，能够掌握同余的定义和性质，区别符号：“三”和=”之间的差异。能利用同余的一些基本性质进行一些计算，深刻理解完全剩余系，简化剩余系的定义、性质及构造。能判断一组数是否构成模m的一个完全剩余系或一个简化剩余系。能计算欧拉函数的值，掌握欧拉定理、费尔马小定理的内容以及证明方法。能应用这二个定理证明有关的整除问题和求余数问题。能进行循环小数与分数的互化。

三、难点和重点

（1）同余的概念及基本性质

（2）完全剩余系和简化剩余系的构造、判别

（3）欧拉函数计算、欧拉定理、费尔马小定理的证明及应用 （4）循环小数与分数的互化 （5）特殊数的整除规律。

四、自学指导

同余理论是初等数论中最核心的内容之一，由同余定义可知，若a≡b(mod m)，则a和b被m除后有相同的余数。这里m为正整数，一般要求m大于1，称为模，同余这一思想本质上是将整数按模m分类，然后讨论每一个类中整数所具有的共性及不同类之间的差异。第一章中用带余除法定理将整数分类解决一些问题的方法只不过是同余理论中的一个特殊例子。从同余的定理上看，同余和整除实际上是同一回事，故同余还有二个等价的定义：①15

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