中考数学重难点专题讲座(5)

中考数学重难点专题讲座

第九讲 几何图形的归纳,猜想,证明问题

【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。

第一部分 真题精讲

【例1】2010，海淀，一模

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B2D1C1的面积为S1，?B3D2C2的面积为S2，…，?Bn?1DnCn的面积为Sn，则S2= ；Sn=____ （用含n的式子表示）．

B1D1AC1B2D2C2B3D3C3B4D4C4C5B5……

【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是?BAC,?BAC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三

22332角形的底边C2D2是三角形AC2D2的底边,而这个三角形和△AC3B3是相似的.所以边长的比例就是AC2与AC3的比值.于是1223.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为3（连接上面所有的B点，将阴影部

S2??2??3?233分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边

都是平行的，于是自然可以得出Dn自然是所在边上的n+1等分点.例如D2就是B2C2的一个三等分点.于是DnCn?n?1?1(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)112n3n?2 S?Bn?1DnCn?DnCn?3??3?n?122n?1n?1

【例2】2010，西城，一模

在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD的四个顶点坐标分别是(?8，若菱形ABCD的0)，(0，4)，(8，0)，(0，?4)，则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；nnnn四个顶点坐标分别为(?2n，0)，(0，，则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数为n)，(2n，0)，(0，?n)（n为正整数）nnnn

_________（用含有n的式子表示）．

y4BA-8OC8

x-4D【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为

y?11,?

x?n斜率意味着什么看上222图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是1?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是12之和为

,n

?2n?n所有个空白小三角形的面积

221,相减之后自然就是所有格点正方形的面积n?n,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是4n?4n. n??2?12

【例3】2010，平谷，一模

如图，?AOB?45?，过OA上到点O的距离分别为1，，，，，357911...的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S，S，S，S，．则第一个黑色梯形的面积S? ；观察图中的规律，第n(n为正整数)个黑色

11234?梯形的面积S? ．

nBS3S2S10135791113...AS4

【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为?AOB?45?，所以梯形的上下底长度分别都对1应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以S1???1?3??2?4.第二个梯形面积

2S2?11??5?7??2?12,第三个是S3???9?11??2?20,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上22底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,

于是Sn就是8n-4.

【例4】2010，丰台，一模

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有 个．

yA3A2A1321D112C1C2C33xD2D3-3-2-1OB1-1B2B3-2-3

【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于ABCD来说,每条边的长度是2n,那么自

nnnn然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是A10B10C10D10就是80个.

【例5】2010，宣武，一模

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．

【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个45°。于是绕到第八次就可以和BC重叠了，此时边长为△ABC的

【例6】2010，门头沟，一模

如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外

111，故而得解。 8. 作第3个等腰直角三角形ABB，??，如此作下去，若OA?OB?1，则第n个等腰直角三角形的面积S? ________（n为正整数）

n11

B2A1A

OBB1【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得

124S1?，S2?，S3?...，

2222n

分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是Sn?2

【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。

第二部分 发散思考

【思考1】2009，西城，二模

如图，在平面直角坐标系xOy中，B(0,1)，B(0,3)，B(0,6)，

123B4(0,10)，?，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以 B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第

三个正方形ABCB，?，如果所作正方形的对角线BB都在

nn?13334y轴上，且BB的长度依次增加1个单位，顶点A都在第一象

nn?1n限内（n≥1，且n为整数）．那么A的纵坐标为 ；用n

1的代数式表示A的纵坐标： ．

n

【思考2】2009，朝阳，二模

如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一 次跳到点P关于x轴的对称点P处，接着跳到点P关于y轴

11的对称点 P 处，第三次再跳到点P关于原点的对称点处，…， 22

如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是 ．

【思考3】2009，昌平,一模

2

对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数7的分裂数中最大的数是 ，自然数n2的分裂数中最大的数是 .

【思考4】2009，延庆，一模

一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动,即

1 3

1 3 5

(0，0)?(01)，?(11)，?(1，0)?…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______

【思考5】2009，海淀，二模 如图，将边长为1?n0 1 2

3

y

3 2 1

? x 2放前6

(n?1,2,3,?)

的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1, A2, A3, ?.①若摆

个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分） 之和为 ；②若摆放前n（n为大于1的正

A1A2A3A4整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 .

第三部分 思考题解析

(n?1)2【思考1答案】2；

2【思考2答案】（3，－2） 【思考3答案】13；2n-1 【思考4答案】（5，0）

【思考5答案】10，(n?2)(n?1)

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