多智能体蜂拥的研究(3)

多智能体系统蜂拥问题的研究 11

图2-2分离

2.1.2聚合

聚合规则是使智能体间具有凝聚力，保持队列的紧凑，如图2-3所示。为了能够产生聚合的群体行为，智能体需要获得其邻域内其它智能体的位置信息，并计算出邻域内智能体位置的平均值，由此产生一个作用于该邻域内所有智能体的吸引力，这样使得智能体向平均位置方向运动。

图2-3聚合

2.1.3速度匹配

速度匹配规则使各个智能体与其邻域内其他智能体的速度保持一致。如图2-4所示。为了能够实现速度匹配，每个智能体需要获得邻域内其它智能体速度信息，计算出邻域内智能体的平均速度。通过速度匹配，可以使得智能体速度大小和方向与这个邻域内所有智能体速度的平均值保持一致。

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图2-4速度匹配

2.2 智能体蜂拥算法的数学基础

2.2.1蜂拥的数学拓扑结构：共识网络（Proximity Nets）

图G由节点和边的集合(v,?)组成，其中节点集为V?{1,2...,n}，边集为

??{(i,j):i,j?V,j?i}(即，图G一般为有向图，且不存在自我回路)。如果

(i,j)???(j,i)??，则图G为无向图。|V|和|?|值分别为图的度和模值。对于动态网

络系统，|?|可表征系统的通讯复杂性。

图的邻接矩阵（adjacency matrix）A?[aij]中不包含0元素。如果邻接矩阵的元素中含有非0和1的元素，则称对应的图为加权图。这里，我们大多使用拥有位置决定邻接矩阵元素值的加权图。对于一个无向图G，邻接矩阵A是对称的（或者AT?A）。节点i的邻居集合定义为

Ni?{j?v:aij?0}?{j?v:(i,j??)}

（2-1）

令qi?Rm表示节点i的位置，其中i?V。向量q?col(q1,...,qn)?Q?Rmn被称为图中所有节点构成的配置。这是一个由包含图及节点构成的数据对(G,q)组成的配置。

现在考虑一群动态智能体，其动力学方程如下：

?.?qi?pi, ?.??pi?ui, （2-2）

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这里qi,pi,ui?Rm（即m=2或3）其中i?V。使用基于粒子的蜂拥模型点于连续模型的优点是连续模型不能进行进一步智能体传感、交流，而且，不能使用计算机计算。

令r?0表示两个智能体之间的距离。一个半径为r的球型空间（见图2-5）确定智能体i的空间范围定义为

Ni?{j?v:||qj?qi||?r}

m （2-3）

其中||..||是R中的欧几里德标准。给定一个匹配的边界r>0，一个共识网络

G(q)?(V,?(q))可以由V定义，并且?可表示如下。

（2-4）

?(q)?{(i,j)?v?v:||qj?qi||?r,i?j}

图2-5智能体i的邻域

显然G(q)?(V,?(q))依靠q来确定。框架(G,q)叫做邻接结构。如果所有智能体的相互作用范围是相同的，共识网络G(q)就成为了一个无向图。N个点的共识网络一般是下面的假设的一种：1）智能体的球形范围没有一定的半径，或2）每个智能体使用圆锥型范围使用确定它的邻居。在这篇文章中，所有的共识网络都是双向的图形。 2.2.2蜂拥的几何结构：??Lattic（?格子）

为了让现实生活中的集群获得明显的空间秩序，人们使用一个??Lattic结构来建立目标蜂拥智能体的几何结构。为了完成这个，人们寻求满足所有智能体之间的距离都满足期望值d，对于每个智能体q取感知范围为共识网络G(q)。以上可以用描述下列代数公式描述：

||qj?qi||?d,?j?Ni(q) （2-5）

公式2-5中的解q扮演蜂拥智能体构造的期望值（即蜂拥的几何模型）。

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定理1.（??Lattic）一个??Lattic是所有q满足方程2-5的一个结构。我们把d和k=r/d分别作为??Lattic的期望值和感知期望比。

图2-6展示了??Lattic的图形例子。 结构q由以下不等式描述：

???||qj?qi||?d??,?(i,j)??(q) （2-6）

图2-6?格子的例子，其中（a）为分布式?格子，（b）为节点n=150的类似?格子

以下方程可以计算出结构q和??Lattic之间的差距

E(q)?1(|?(q)|?1)n???(||qi?1j?Nij?qi||?d) （2-7）

其中?(z)?z2被称为成对势能（注意其他的势能标准也可以被使用）。他的能量偏差可以被视为n个节点的光滑势能函数。可以证明，??Lattic是所有结构q中最小的势能函数，而且达到最小值0。对于一个包含不确定的边长?的??Lattic，能量偏差可以被定为

E(q)?|?(q)||?(q)?1|?2??2??d,???1

22这意味着??Lattic是n个点的最低能量构造。 2.2.3 ??Norm和光滑邻接元素

为了建立光滑的蜂拥势能和每个共识网络的邻接矩阵，人们定义了称为??Norm的一个非负映射。

其为Rm?R?0（不只一个标准），定义为

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||z||??1[1??||z||?1]

2? （2-8）

其中参数?>0，梯度??(z)??||z||?由以下定义

??(z)?z1??||z||2?z1??||z||? （2-9）

??Norm的?在本文之后不变。

碰撞函数（bump function）?h(z)是变量从0光滑变到1的函数。这里，人们用碰撞函数建立光滑的势能函数，其含有有限的间断和光滑的邻接矩阵。以下是一种可以选用的碰撞函数

?1,z?[0,h)?(z?h)?1?h(z)??[1?cos(?)],z?[h,1]

(1?h)?2?0,otherwise? （2-10）

这里h?(0,1)。可以看出来?h(z)是一个光滑函数，使用这个碰撞函数，我们可以定义邻接矩阵A(q)，它的成员为

aij(q)??h(||qj?qi||?/r?)?[0,1],j?i （2-11）

其中对于任何i和q，ra?||r||?，aii(q)?0。对于h?1，?h(z)是一个指示函数，其当在[0,1]时为1，在其它范围为0。使用这个指示函数，可以创造出一个依靠0-1的邻接网络。

2.2.4 涌现势能函数

涌现势能函数V(q)是含有智能体群的不定映射V:Rmn?R?0。其中所有势能函数的解的最小值是V(q)，反之亦然。在这篇文章中，涌现势能是指能量偏离函数的一个平滑的形式，其梯度势能是离散的。

?(z):R?0?r?0是一组吸引/排斥的成对的势能，其最小值在z?d取得，而且

定义变为0在r实现，之后，以下的函数

?(q)?12???(||qij?ij?qi||?)

（2-12）

是一个涌现的势能函数，但是两个不同节点具有相同位置即qi?qj的情况是不可能

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