电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题

电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题

一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．方程x(y2?1)dx?y(x2?1)dy?0所有常数解是 ． 2．方程y???4y?0的基本解组是 ． 3．方程

dy?dxy?1满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

4．函数组?1(x),?2(x),?,?n(x)在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．

5．若y??1(x),y??2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程

dy?dxy的奇解是（ ）．

（A）y?x （B）y?1 （C）y??1 （D）y?0 7. 方程

dy??1?y2过点(,1)共有（ ）个解． dx2 （A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 8．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．

（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解 10．如果f(x,y)，dy?f(x,y)?f(x,y)的任一解的存在区间都在xoy平面上连续，那么方程（ ）． dx?y （A）必为(??,??) （B）必为(0,??) （C）必为(??,0) （D）将因解而定

三、计算题（每小题６分，本题共30分）

求下列方程的通解或通积分： 11.

dyyy??tan dxxxdyy??1 dxx2x 12.

13. (xe?y)dx?xdy?0 14．y?(x?lny?)?1

15．yy???y?2?2x?0

四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．求方程y???y?1xe的通解． 2 17．求下列方程组的通解

?dx??x?2y??dt ?．

dy??3x?4y??dt五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18．在方程

dy?f(y)?(y)中，已知f(y)，??(x)在(??,??)上连续，且?(?1)?0．求证：对任dx意x0和y0?1，满足初值条件y(x0)?y0的解y(x)的存在区间必为(??,??)．

19．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，已知p(x)，q(x)在(??,??)上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．

试题答案及评分标准

一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．y??1,x??1 2．sin2x,cos2x

23．D?{(x,y)?Ry?0}，（或不含x 轴的上半平面）

4．充分 5．没有

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．B 8．A 9．C 10．D 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 11．解： 令

ydydu?u?x?u，则，代入原方程，得 dxdxxdudu?u?tanu，x?tanu （2分） dxdx u?x 当tanu?0时，分离变量，再积分，得

dudx??tanu?x?lnC （4分）

lnsinu?lnx?lnC （5分）

即通积分为：

siny?Cx （6分） xdyy?dxx的通解为

12．解： 对应齐次方程

y?Cx （2分） 令非齐次方程的特解为

y?C(x)x 代入原方程，确定出

c/(x)?1x 再求初等积分得

C(x)?lnx?C 因此原方程的通解为

y?Cx+xlnx 13．解： 积分因子为 1?(x2ex?y)?x2 ?(x)?e??x(?y??x)dx?e??xdx?e?2lnx?1x2 取x0?1,y0?0，则原方程的通积分为 ?xx1(e?yyx2)dx??0dy?C1 即

ex?yx?C,C?e?C1 14．解： 令y??p，则原方程的参数形式为

? ??x?1p?lnp ??y??p 由基本关系式

dydx?y?，有 dy?y?dx?p?(?1p2?1p)dp?(1?1p)dp 积分得 y?p?lnp?C 得原方程参数形式通解为

（3分）

（4分） （5分）

（6分） （3分）

（5分）（6分）（2分）（4分）（5分）

1?x??lnp? ? （6分） p?y?p?lnp?C? 15．解： 原方程是恰当导数方程，可化为

(yy??x2)??0 （2分） 于是积分得

ydy?x2?C1 （4分） 分离变量得 dxydy?(c1?x2)dx 积分得通积分为

12y2?C11x?3x3?C2 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．解： 对应的齐次方程的特征方程为：

?2?1?0 特征根为：

?1?1,?2??1 故齐次方程的通解为：

y?C1ex?Cx2e? 因为??1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 yx1(x)?Axe 代入原方程，有

2Aex?Axex?Axex?12ex， 可解出

A?14． 故原方程的通解为

y?Cx1x1e?C?x2e?4xe 17．解： 方程组的特征方程为 A??E??1???234???0

（5分）

（6分） （1分） （2分）

（4分） （6分）

（7分） （8分） （10分）

即 ??3??2?0 （1分） 特征根为

2?1?1，?2?2 （2分）

?1?1对应的解为

?x1??a1?t ?????e （3分）

?y1??b1?其中a1,b1是?1?1对应的特征向量的分量，满足

??1?1?2??a1??0? ???b???0? （4分）

34?1???1???可解得a1?1,b1??1． （5分） 同样可算出?2?2对应的特征向量分量为 a2?2,b1??3． （8分） 所以，原方程组的通解为

?et??2e2t??x? ???C1?t??C2? （10分） 2t??y???e???3e? 五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18．证明： 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． （2分） 显然y??1 是方程的两个常数解． （4分）

任取初值(x0,y0)，其中x0?(??,??),y0?1．记过该点的解为y?y(x)，由上面分析可知，一方面y?y(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y?1，下方不能穿过y??1，否则与惟一性矛盾,故该解的存在区间必为(??,??)． （ 10分）

19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是(??,??)． （2分）

显然，该方程有零解y(x)?0． （5分）

?(x0)= 0，那么由解 假设该方程的任一非零解y1(x)在x轴上某点x0处与x轴相切，即有y1(x0)?y1的惟一性及该方程有零解y(x)?0可知y1(x)?0,x?(??,??)，这是因为零解也满足初值条件

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