近代物理课后习题答案

1. 用波动方程推出薛定谔方程。

解：设有一个粒子，其质量为m，能量为E，动量为P，根据德布罗意关系可知与粒子运动联系的波的角频率?及波矢k有如下关系：

????E/???k?p/?（1）

则与该粒子相联系的平面波的波函数为：

??????(r,t)??0exp[i(k?r??t)/?]??0exp[i(p?r??t)/?] （2）

（2）式对t求偏导数得：

i???t???(r,t)?E?(r,t)

??i?(r,t)??E?(r,t) ?t?? （3）

?12??(r,t)??Px?(r,t) 22?x??2（2）式对x求两次偏导数得：即：??2??22??(r,t)?Px?(r,t)

?同理有：??2?2?(r,t)?Py2?(r,t)

??222????(r,t)?Pz?(r,t)?

可进一步写成：

所以，

??2?2??????(r,t)?P?(r,t)222m?2??(r,t)??2P2m??(r,t)（4）

?2又由于E?P/2m

（3），（4）式相减得：(i???t??22m?2?)?(r,t)?(E??2P2m?)?(r,t)?0

???2i??(r,t)????(r,t) 化简得：（5） ?t2m?2?进一步考虑粒子在势场V(r)中的运动，E?P/2m?V???（5）式可写为：i??(r,t)?(??2?V)?(r,t)

?t2m?2?2

上式即为薛定谔方程。

2. 推出电荷守恒公式

3. 为什么ka?n?中的n不可以为零？

答：若n=0，波函恒为0数无意义

4. 设粒子处于二维无限深势阱V(x,y)????????其它0????0?x?a，0

函数。如果a=b，能量简并度如何？ 解：（1）粒子处于二维无限深势阱V(x,y)????????其它0????0?x?a，0

程为： 2??22m(?2?x2???y2)?(x,y)?E?(x,y)，0?x?a，0

?2?2?2m(?2?x2??y2)?(x,y)?V(x,y)?(x,y)?E?(x,y)，(x,y)?其它 （2）

对于（2）式，因为V(x,y)??，则?(x,y)?0 令k2?2mE?2，

则（1）式可可表示为：(?2?22?x2??y2?k)?(x,y)?0

解

为?(x,y)?Asin(kxx??1)sin(kyy??2)A,?为待定常数 （3）

由在阱壁上的连续性可得：?(0,0)??(a,0)??(0,b)??(a,b)?0 （4 ） 将（3）式代入（4）式得：?1??2?0

kxa?n1?，n1?1,2,3,?

kyb?n2?，n2?1,2,3,?

代入k2?2mE?2中得粒子能量的允许值为：

222???n1,n2???2m(n1n22a?b)，n1,n2?1,2,3,? 对应予能级?nn1?1,n2的波函数记为：?n1,n2(x,y)?Asin(ax)sin(n2?by)

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