11-12学年第一学期概率统计试题（多概）A卷答案

天津科技大学2011-2012学年第一学期《概率论与数理统计》（多概）

期末考试试题（A卷）参考答案及评分标准

一、填空题（共21分，每小题3分）

1. 设A、B是两个随机事件，若P(A)?0.5、P(A?B)?0.2，则P(AB)? 0.7 . 2. 若随机变量X服从泊松分布P(2)，则概率P(X?1)?1?3e?2?0.5940.

x?1?4?3. 若随机变量X的概率密度为?4e，x?0， 则P(4?X?8)??x?0，?0，e?1?e?2?0.2325．

4. 若随机变量X的概率分布列为 则E(X)? 37/12 ．

25. 若随机变量X与Y满足D(X)?D(Y)?1，且相关系数R(X，Y)??1，则2D(3X?2Y)? 7 ___. ???(X1?2X2?X3?X4)是总体均6. 设X1，X2，X3，X4是来自总体X的样本，若?值?的一个无偏估计，则?? 1/5 .

7. 在假设检验中，当原假设H0为真时拒绝H0，这类错误称为第一类错误（或弃真错误）.

二、单项选择题（共15分，每小题3分）

1. 设每次试验成功的概率都为p(0?p?1)，现在独立地进行10次这样的试验，记X为试验成功的次数，则P(X?4)?（ C ）.

(A) p(1?p) (B) p(1?p)

44(C) C10p4(1?p)6 (D) C10p6(1?p)4

4664?sinx，x?[0，A]，2. 若随机变量X的概率密度为f(x)??则A? ( B ).

x?[0，A]，?0，(A) ?/4 (B) ?/2 (C)

? (D) 3?/2

3．若随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y?3X?1的分布函数为（ A ）.

y?1) (B) F(3y?1) 311 (C) 3F(y)?1 (D) F(y)?

33(A) F(4．若随机变量X的概率密度为f(x)?（ B ）. （A）

12?e?(x?3)24，则服从标准正态分布的随机变量是

X?3X?3X?3X?3

（B） （C） （D） 2222

25． 设随机变量X~t(n)，则随机变量Y?X~（ D ）.

（A）?2(n) （B）F(n，n) （C）F(n，1) （D）F(1，n)

三、某灯泡厂有甲、乙两条生产线，它们各自出产的灯泡中寿命大于2500小时的分别占有

80%和90%，从它们出产的灯泡中各自随机地抽取一个，（1）求两个灯泡寿命都大于2500小时的概率；（2）求两个灯泡中至少有一个寿命大于2500小时的概率. （本题8分） 解：用A,B分别表示从甲、乙两个流水线上的产品中抽取的灯泡寿命大于2500小时，则它们相互独立. 2分 (1) P(AB)3分?P(A)P(B)4分?0.8?0.9?0.72；5分 (2) P(A?B)6分?P(A)?P(B)?P(AB)7分 ?0.8?0.9?0.72?0.98. 8分 四、若连续型随机变量X的分布函数F(x)?A?Barctanx(x???)，（1）求A、B的

值；（2）求概率密度f(x)；（3）求P(x?1). （本题8分） 解：（1）由连续型随机变量的分布函数的性质，

F(x)?A??B/2?0，??xlim???有? 3分 limF(x)?A??B/2?1，??x???1111解得A?,B?，于是F(x)??arctanx； 3分 2?2?（2）由于在F(x)的可导点F?(x)?f(x)，得随机变量X的概率密度为

f(x)?（3）P(x?1)?1 （x???）； 5分 ?(1?x2)?1?1f(x)dx7分 1?11??1(?)?. 8分 ?4421??1 或P(x?1)?F(1)?F(?1)7分?[?(?)]?. 8分 ?442?dx1?arctanx???11?x2?11?五、若二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为

?kxy，0?x?y?1， f(x，y)???0，其它，（1）求k值；（2）求概率P(X?Y?1). （本题8分） 解：（1）由1??????dx?1????1f(x,y)dy2分 k，得k?8；4分 8f(x,y)dxdy5分 1?k?dx?xydy?0x（2）P(X?Y?1)?x?y?1????11/2dy?y1?y8xydx7分?4?1/2(2y2?y)dy?5. 8分 60?x?1，?x，?六、设随机变量X的概率密度为f(x)??2?x，1?x?2，

?0，其它，?求X的数学期望E(X)与方差D(X)． （本题8分）

12??1；4分 ???3312??11173222?xdx?x(2?x)dx???；6分 E(X)??xf(x)dx??10??4126721 D(X)?E(X2)?E2(X)7分??1?. 8分 66解：E(X)???xf(x)dx2分??0xdx??1x(2?x)dx?122七、若某校学生第一学期期末数学考试成绩近似服从正态分布N(75，81)，如果认为90分

以上为“优秀”，求该校数学成绩为“优秀”学生大致所占的比例． （本题8分） 解：设X表示考生的数学成绩，由X近似服从正态分布N(75，81)，于是 P(X?90)?1?P(X?90)2分?1??(90?75)?1??(1.67)5分 9?1?0.9525?0.0475，7分 即数学成绩“优秀”的学生大致占总人数的4.75%. 8分 八、某供电站供应10000户居民用电，设在用电高峰时每户用电的概率都为0.8，且每户是

否用电是相互独立的，求在同一时刻有8100户以上用电的概率． （本题8分） 解：用Xn表示10000户居民中在同一时刻用电的户数，则Xn~B(10000，0.8)，2分 于是np?10000?0.8?8000，np(1?p)?8000?0.2?40.3分 所求概率为

P(8100?Xn?10000)?P(Xn?npnp(1?p)Xn?np8100?800010000?8000??)5分 4040np(1?p) ?P(2.5??50)??(50)??(2.5)7分?1?0.9938?0.0062. 8分 九、某种虾的身长X（单位：cm）服从正态分布N(?，?2)，现在随机抽取9只，算得平

均身长为x?6（cm），样本标准差s?0.5745(cm)，求?的置信水平为0.95的置信区间．

（本题8分）

解：由于?未知，故?的置信区间为(x?s?t?/2n，x?s?t?/2n)，3分 而??0.05，n?9，查t分布表得t0.025?2.315分，又x?6，s?0.5745， 所以所求置信区间为（6?2.31?0.57452.31?0.5745, 6+），7分 33即（5.5576，6.4424）. 8分 十、某车间生产钢丝的折断力X（单位：N）服从正态分布．现从某天的产品中随机抽取9

2根检测折断力，算得平均折断力为x?575（N），样本方差s?72，问可否据此相信该车

间这天生产的钢丝的折断力的方差为64？（取显著性水平??0.05）． （本题8分）

2解：由已知要检验的假设是H0：?2??0?64，H1：?2?64， 1分 由于总体均值未知，故选取检验统计量?? 当H0成立时，?2~2(n?1)S22?0，3分 ?2(n?1)，4分 2 由已知条件计算可得统计量?2的观测值??(9?1)?72?9，5分 64222查表得?12)??0，??)??0??/2(n?1..975(8)?2.18/2(n?1.025(8)?17.53，7分 22而?0.975(8)?2.18??2?9??0.025(8)?17.53，

所以接受原假设H0，即在显著性水平??0.05下可以相信该车间的钢丝的折断力的方差为64. 8分

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