第3章习题

第3章 习题

3.1 一个载流I1的长直导线和一个载流I2的圆环（半径为a）在同一平面内，圆环与导线的距离是d。证明两电流之间的相互作用力为

??d. ?0I1I2??1?

??22?d?a?解：选取如图3.1所示坐标。直线电流产生的磁感应强度为

B1?eφ?0I1?0I1 ?2??2??d?acos??F??C2I2dl2?B1

由对称性可以知道，圆环电流受到的总作用力仅仅有水平分量，dl2?e?的水平分量为acos?d?，再考虑圆环上、下对称，得

?II??IIacos?F?0122d???01202?d?acos?2????0d???1?d? ??d?acos??使用公式

??0d??d?acos??d?a22

??d最后得出两回路之间的作用力为??0I1I2??1?，负号表示吸引力。

??22?d?a?3.2 一个N边正多边形线圈的外接圆半径为a，当通过的电流为I时，试证多边形线圈中心的磁感应强度为

B?en? 0NI?tan 2? aNI I 解 如习题图3.2所示，载流线圈每边在中心O处产生的磁感应强度为

?1 ?a O n a ?2 I B1?en?0I?cos?1?cos?2? 4?r?en??????????cos??cos????????2N????2N??4?acos?????N?1

?0I习题图3.2

?en?0I???tan?? 2?a?N?所以，N条边在中心O处产生的磁场为

B?NB1?en? 0NI?tan 2? aN3.3 已知边长为a的等边三角形回路电流为I，周围媒质为真空，如习题图5-3所示。试求

回路中心点的磁感应强度。

解 取直角坐标系，令三角形的AB边沿x 轴，中心点P位于y轴上，电流方向如图示。 由毕奥—沙伐定律，求得AB段线电流在P点产生的磁感应强度为

B1??0Idl??r?r??4??lr?r?3

r?ey3a6，r??exx，即

A C a y 式中

Idl??exIdx，

a P B o a a x ??3???eIdx?ea?exxyx?a?6?????e33?0IB1?0?2az34??22?a3eya?exx6习题图3-3

由于轴对称关系，可知BC段及AC段电流在P点产生的磁感应强度与AB段产生的磁感应强度相等。因此，P点的磁感应强度为

B?3B1??ez93?0I 2?a3.4 两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图3.4所示。若圆环半径r =10cm，电流I = 5A，试求半圆环圆心处的磁感应强度。

2

Y ① r? r 0 ② X r? ③ 习题图3.4

解 根据毕奥—沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为

H?14??Idl??r?r??r?r?3l

设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X轴，如图所示。那么，对于半无限长线段①

Idl??exIdx，r?0，r???exx?eyr

因此，在圆心处产生的磁场强度为

1H1?4??0?exIdx??exx?eyr????xI2?r322??ezI 4?r同理线段③在圆心处产生的磁场强度为

H3?ez对于半圆形线段②

4?r

Idl?e?Ird?, r?0, r??err

因此，它在半圆心处产生的磁场强度为

1H2?4????2?e?Ird???0?err?r3?ez2I 4r那么，半圆中心处总的磁感应强度为

B??0?H1?H2?H3??ez?0I?2??6??1??25.7?10(T) 4r???3.5 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所

示。计算各部分的磁感应强度B，并证明腔内的磁场是均匀的。

解 将空腔中视为同时存在J和?J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个电流密度为?J、均匀分布在半径为a的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路定律

C?B?dl??I，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电

0??0?2J?rbrb?b 流产生的磁场为 Bb???2??0bJ?rbrb?b2?2rb?

3

J rb b d oaob ra a题3.5图

电流密度为?J、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为

??0??2J?rara?a? Ba??2???0aJ?rara?a2?ra?2这里ra和rb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。

将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为

2?b2?a 圆柱外：B?J??2rb?2ra? (rb?b) 2ra??rb2???a0 圆柱内的空腔外：B?J??rb?2ra? (rb?b,ra?a) 2ra?? 空腔内： B??0J??r?r???0J?d (ra?a)

ba22式中d是点和ob到点oa的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

?03.6 若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函数J?ez(r2?4r), r?a，试求圆柱内外的磁感应强度。

解 取圆柱坐标系，如习题图3.3所示。当r?a时，通过半径为r的圆柱电流为

Ii??J?ds??ezr2?4r?ezds??d??r2?4rrdrss00??2?r??z 8??1???r4?r3?

3??2由

?B?dl??l0rI

x o Js y 求得

4??1B?e??0?r3?r2?

3??42a 当r?a时

8??1Io??d??r2?4r?rdr???a4?a3?

003??22?a??习题图 3.6

由

?B?dl??l0oI

求得

B?e??0?143?4?a?a? r?43?4

3.7 若在y??a处放置一根无限长线电流ezI，在y = a处放置另一根无限长线电流exI，如习题图3.7所示。试求坐标原点处的磁感应强度。

解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于y??a处的无限长线电流ezI在原点产生的磁场为

H1??exI2?aZ

I

Y

位于y?a处的无限长线电流exI产生的磁场为

H2??ezI2?a

X

-a 0 I a 因此，坐标原点处总磁感应强度为

B??0?H1?H2????0I?ez?ex? 2?a习题图3.7

3.8 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。 (1) H?erar,B??0H （圆柱坐标） (2) H?ex(?ay)?eyax,B??0H (3) H?exax?eyay,B??0H

(4) H?e?ar,B??0H（球坐标系）

解 根据恒定磁场的基本性质，满足??B?0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由J???H求出源分布。

1?1?（1）在圆柱坐标中 ??B?(rBr)?(ar2)?2a?0

该矢量不是磁场的场矢量。 （2） ??B?r?rr?r??(?ay)?(ax)?0 ?x?yex?该矢量是磁场的矢量，其源分布为 J???H??x?ay?? （3） ??B?(ax)?(?ay)?0

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