江苏省连云港市赣榆区2017届高三数学下学期周考7(5)

数学Ⅱ（附加题）

21.解：?AA?1???10??01?? ???30???1?a???30????10?2 ?b1????01???2?a?则???ab?0?1?3 解之得??a?1??b??2

3?A???30? A的特征多项式?21??f(?)???30?2??1?(??3)(??1) 令f(?)?0，解之得?=3或1

?A的特征值为3和1???????????????10分

?sin2??6cos?22.解（1）?2sin2??6?cos?

y2?6x曲线是以原点为顶点，(32

,0)为焦点的抛物线

??x?3?t?22（2）??y?3t，化简得t2?4t?12?0，则t?21?t2?4,t1t2??12[

?2?y?6x? 所以AB?|t1?t2|?(t1?t2)?4t1t2?8???????????????10分

23. 解

21

?平面A1ACC1?平面A1ABB1平面A1ACC1?平面A1ABB1?A1ABA?平面A1ABB1BA?A1A?BA?平面A1ACC1又?AC?平面A1ACC1BA?AC

又?A1A?AB,A1A?AC?以AC,AB,AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,1,2),A1(0,0,2)?P为BB1中点,M为BC中点?P(0,32,1),M(1,1,0)易知平面ABM的一个法向量?m??(0,0,1) 设平面APM的一个法向量?n?(x,y,z)，则由

????n?????AM??0?x?y?0?????317?????? 得??n?AP?0??3?2y?z?0 令y?2，则n?(?2,2,?3),cos?m,n??17 如图可知二面角为锐角，所以二面角P?AM?B的余弦值为31717??????5分 （2）假设存在点P，使得直线AC1?平面AMP

设P(x,y,z),且???BP??????BB?1,??[0,1]，则(x1,y1?2,z1)??(0,?1,2) 所以x?0,,y,z????11?2??1?2?，所以AP?(0,2??,2?)

设平面AMP的一个法向量为?n2?(x2,y2,z2)

由????n?????2?AM?0 得?x2?y2?0?????2)， ???????n?2?AP?0?(2??)y2?2?z2?0 令y2?1,则n2?(?1,1,2?若直线AC???????????1?平面AMP，则AC1?n2,所以A1C???n?2??2???22??0,解之得?=23 所以线段BBBP1上存在点P且当

PB=2时，使得AC1?平面AMP．???????10分 124.【解】⑴x>0时，f?(x)=xex?0,f(x)单调增，f(x) ? f(0)=0???3分

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exn?1exn?1⑵①xxnexn?1?en?1?exn?1=x, x1=1?x>1,xn>0对任意n成立；

nn又⑴知f(x)?0?ex

nn-12,命题成立 假设n=k时，命题成立，即x1k?2k

111 要证xxk?1>

k?12k?1,只要证明e?e2k?1，只要证明exk?12x>ek?1

k设g(x)=ex?1xex?ex?1x,g?(x)=x2=-f(x)x2>0在x>0上成立，

故g(x)在x>0上单调增，x1exk?11k?2k，g(xk)=x>g(k),

k21k111只要证明g(1e2?12k?12k?21e=e2,设12≥1k)=>2k=t>0，

2k只要证明et?1ttt?e2，只要证明et-1>te2 ttt设et-1-te2=h(t),t>0,h?(t)=e2(e2?1?t2)>0在t>0时恒成立，

th(t)单调增，h(t)>h(0)=0, et-1>te2成立。从而对n=k+1，不等式仍然成立

x总之，n?12n成立???????????????10分

23

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