山东省冠县武训高中2011-2012学年高二下学期第二次模块考试数学(2)

?y?x?n?（2）设直线l的方程为y?x?n,由?x2 2?y?1??2可得3x2?4nx?2n2?2?0 ??????????????????????? 8分 则??16n2?24(n2?1)?0,即n2?3 ① ?????????????9分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??4n3,x1x2?2n?232

????????由OA?OB?0可得x1x2?y1y2?0,即x1x2?(x1?n)(x2?n)?0 ???????10分

整理可得2x1x2?n(x1?x2)?n2?0

化简可得3n2?4,满足①式，故直线l的方程为：y?x?]233 ???????12分

18．解：（1）茎叶图如图: （2） x甲=x乙= 8.5，但

S甲=0.27，S乙=0.405，S甲?S乙，

2222 甲 乙 9 8 7 5 9 4 3 3 8 0 1 2 5 4 0 9 0 2 5 ???3分

甲发挥更加稳定，所以选派甲合适. ??????????????6

分

（3）乙不低于8.5分的频率为，?的可能取值为0、1、2、3.

2k1??B(3,)，P(??k)=C3()2113?k2(1?13k13)=C3()22，k?0,1,2,3. ?????8分

x的分布列为 ∴

E??0?18?1?38?2?38?3?18?32.（注：可用E??3?12?32.） ???????12分

0 18

19

x 1 382 383 18．

2a?解2x?2a2：（1）

P xx??????1分

由已知f'(2)?1，解得a??3. ???????????????????3分

f'(x)?2x? ???????????

（2）函数f(x)的定义域为(0,??).f'(x)?2(x?3)(x?x3).

当x变化时， f'(x),f(x)的变化情况如下：

x f'(x) f(x) (0,3) 3 (3,??) - 0 + 极小值 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,3)；单调递增区间是(3,??). ??6分

2x)??x?2anlx （3）由g(2x得g'(x)??2x2?2x?2ax， ????????????

8分

由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，

6

则g'(x)?0在[1,2]上恒成立，即? 即

a?1x?x22x2?2x?2ax?0在[1,2]上恒成立.

在

[1,2]上恒成立.

?????????????????????10分 令h(x)?所以

1x?x，在[1,2]上h'(x)??21x2?2x??(1x2?2x)?0， ?h(2)??min72h(x)在

[1,2]为减函数. h(x),所以

a??72. ????????12分

C(?B(x2,y2)，法2：设直线l的方程为：y?kx?2(k?0)，A(x1,y1)，

2k,0)，M(0,2)

联

2立方程可得

?2k?y??2?y?4x 得

x :

ky?4y?8?0??????????????????8分

????????????????2?y12?y222??1,????1, ?????由MA??AC，MB??BC得，??y1y1y2y210分

????(13分

7

2y1?1)?(2y2?1)?2(y1?y2y1y2)?2??1 即证. ????????????

法3：设直线l的方程为：y?kx?2(k?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(?2????k?????????x1?2由MA??AC得：?1??代入y?4x有：

?2y??11???2k,0)，M(0,2)

4(1??)2?8?(1??)k22?0即2?+2?+k?0， 同理：2?+2?+k?0，

所以?,?是方程2x2+2x+k?0的两根， 故?+?= -1 ????????????13分

（注：该法可以不联立直线与抛物线的方程.）

曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率：

k?f?(x0)?f?(x1?x22)=(x1?x2)?4x1?x2????????????????11

分

依题意得： (x1?x2)?2?lnx1?lnx2x1?x22x1?x2?(x1?x2)?4x1?x2

2(?x2x1?1)化简可得：

lnx2?lnx1x2?x1?， 即lnx2x1=

2(x2?x1)x2?x1x2x1. ????12?18

分

设

x2x1?t (t?1)，上式化为由lnt?2(t?1)t?14,由（2）知t?1时，lnt?4t?1?2恒成立.

所以在?1,???内不存在t,使得lnt??2成立. t?1综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值伴侣切线” ??????14分

9

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