关于圆锥曲线切线问题的一些思考（东南大学，徐文平）

椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理

徐文平

（东南大学 南京210096）

摘要：针对椭圆内接四边形开展极点与极线问题研究，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，即椭圆内接四边形的对边延伸线交点调和分割对角线极点。运用极点与极线的知识，并采用椭圆问题化圆处理方法，进行了新定理的简单证明。

关键词：椭圆切线、内接四边形、极点与极线、调和分割、尺规作图

椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。

一、新定理的提出

新定理1：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。 如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

图 1

新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。

新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC＝CB。

图 2

1

二、新定理的证明

新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。

我们首先证明新定理在圆的情况下成立，然后采用坐标变换和坐标旋转方法，可以快速地证明新定理在椭圆情况下也成立。

如图3，圆⊙O内接四边形KLMN，对边KN与LM交于A，对边KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点。将极点C、B关于圆⊙O的切线延伸交叉，构成圆⊙O的外切四边形EHFG，连接F、Q、E、B四点连线，连接A、G、Q、H四点连线。

运用经典几何定理以及射影几何的极点极线知识进行新定理证明，具体步骤如下： 1） 需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上； 2） 需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线； 3） 需证明GD、CH、FB三线共点于E点； 4） 需证明A、B、C、D四点是调和点列。

图 3

定义1：对于线段AB的内分点C和外分点D，满足割线段AB或A、B、C、D是调和点列。

ACAD?，则称点C、D调和分CBDB

图 4

调和点列的等价判定形式： (1)点A、B调和分割线段CD；

112?? ； ACADAB（3）AB?CD?2AD?BC?2AC?BD

(2)

2

引理1： 从圆⊙O外一点P，引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，A、B点为割线与圆的交点，弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。

图 5

假设N点为AB的中点，分析得知，AB⊥ON，∴Q、M、N、O四点共圆，

PQ?PN?PM?PO

∵ΔPOT与ΔPMT是相似三角形，PT?PM?PO ∵PT22?PA?PB，∴PQ?PN?PA?PB

∵PN??PA?PB?/2，∴PQ?(PA?PB)?2PA?PB

∴

112PAPB??? ；或 PAPBPQAQBQ∴ PQ调和分割AB。

定义2：如图5，P点称为ST切点弦线关于圆⊙O的极点，ST切点弦线称为P点关于圆⊙O的极线，极点与极线是相互对应的。

引理2：从圆⊙O外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割线，与圆交于 A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC交于Q点，AC与BD延伸交于R点，则 S、T、Q、R四点共线。

图 6

如图6，联结AS、SB、BD、DT、TC、CA直线，得圆内接的凸六边形ASBDTC。 欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。

3

对于圆内接凸六边形ASBDTC，利用塞瓦定理, 只须证明

BD?TC?AS?1

DT?CA?SB∵ ΔPBD∽ΔPCA，ΔPTC∽ΔPDT，ΔPAS∽ΔPSB，

BDPBTCPCASPS???， ， CAPCDTPTSBPB又 ∵ PS?PT，

DBTCASPBPCPS??????1 ∴

CADTSBPCPTPBDBTCAS???1 ∴

DTCASB则

因此，BC、AD、ST三线共点，S、Q、T三点共线，Q点在以P点为极点的ST极线上。 在三角形ΔRCD中，假设M点为RQ与CD的交点， 由赛瓦定理得：

CMDBRA???1 MDBRACRBDPCA???1 DBPCAR∵ΔRCD被直线PB所截，由梅涅劳斯定理得：

将上面两个式子相乘得:

CMDP??1 MDPCCMPCPCDP??即： 或 MDDPCMDM∴CD被PM调和分割，同时PM也被CD也调和分割。

依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线， ∴M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。

定义3：如图6，依据射影几何知识，可以证明三角形ΔPQR每个顶点是其对边的极点。即：P点是QR的极点，R点是QP的极点，Q点是PR的极点，ΔPQR称为自配极三角形。

引理3（帕斯卡定理）：设六边形ABCDEF内接于椭圆，直线AB与DE交于点X，直线CD与FA交于点Z，直线EF与BC交于点Y，则X、Y、Z三点共线。

如图7，当椭圆内接六边形ABCDEF在两处各有2个顶点重合，即当B（C）点重合，E（F）点重合，椭圆内接六边形ABCDEF退化为椭圆内接四边形AB（C）DE（F），BY与EY退化为切线，帕斯卡定理仍然成立，即圆内接四边形的对边两交点与对角线极点共线。

图 7

4

引理4（布列安桑定理）：布列安桑定理是一个射影几何中的著名定理，是帕斯卡定理的对偶定理，它断言圆锥曲线外切的六边形的三条对角线共点。

图 8

引理5（牛顿定理3）：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。

图 9

证明一：牛顿定理3是布列安桑定理的一个特殊情况，即当圆的外切六边形的一组对角顶点的内角为180°时，这一组对角点转化为两个切点，牛顿定理3成立。

证明二：如图9，AD与QS交于M点，设AD与PR交于M?点，证明点M与点M?重合。

由切线性质，知∠ASM＝∠BQM，则

AMSMS?AMSASSM ????QMDMS?DMQDQQMAMAS? DMDQAM?AP? ?DMDR即：

同理可得：

∵ AP?AS ，DR?DQ

AMAM?? DMDM? 由合比定理得，M与点M?重合。即知AD、PR、QS三线共点。

∴

同理可知BF、PR、QS三线共点，所以直线AD、BF、PR、QS四线共点，牛顿定理3成立。

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