2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析(3)

y?ax 1?aa2x2(?a2x4)dx 1?a011?a旋转体的体积为V???11?a01a2x3125 ??[?ax]31?a52??15a2(1?a)52

dVdV?(4a?a2)?0，并由a?0可得唯一驻点a?4。 从而有。令(a?0)?7dada15(1?a)2由题意知此旋转体在a?4时体积取最大值，最大值为Vmax十一、（本题满分8分）

设f(x)在[0,??)上可导，f(0)?1 ，且满足等式 f?(x)?f(x)?（Ⅰ）求导数f?(x)；

（Ⅱ）证明：当x?0时，不等式e?x?f(x)?1成立．

【分析】（Ⅰ）等式两端对x求导消去积分号，再解相应微分方程便可；（Ⅱ）利用单调性完成。

【详解】（Ⅰ）由于f?(x)?f(x)?2??1542(1?4)52?325?。 18751xf(t)dt?0

x?1?01xf(t)dt?0且f(0)?1，所以f?(0)??1

x?1?0x且 (x?1)f?(x)??x?1?f(x)??f(t)dt?0

0上式两端对x求导可得：

(x?1)f??(x)?(x?2)f?(x)?0

e?x?e?x所以f?(x)?c，由f?(0)??1可得c??1，从而f?(x)?．

1?x1?x （Ⅱ）令H(x)?1?f(x),x?0，则

exH?(x)??f?(x)??0,(x?0)

1?x从而函数H(x)在[0,??)内单调递增。

由于H(0)?1?f(0)?0，所以当x?0时，恒有H(x)?0，即f(x)?1；

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又令F(x)?f(x)?e，则F?(x)?f?(x)?e?x?xxe?x??0(x?0) 1?x所以F(x)当x?0时，单调增加，又因为F(0)?0，所以当x?0时，F(x)?0，即

f(x)?e?x；

综上，当x?0时，有e?x?f(x)?1。 十二（本题满分6分）

?1??1??0??1?????TTT 设??2，????，??0，A???，B???，其中?是?的转置，求解

?????2????1???8???0???方程2B2A2x?A4x?B4x??

?1?1??T【分析】考查线性方程组求解.应首先化简方程组，注意到B????(1,,0)2?2，

??2??1??而A???T是三阶方阵，且有A2???T??T?2A，便可方便地化简。

?1?1??T【详解】由于B????(1,,0)2?2，A2???T??T?2A，从而由

??2??1??12B2A2x?A4x?B4x??可得：16Ax?8Ax?16x??，即(A?2E)x??

81???10??2??T而A?2E????2E??2?10?。

??1?2??12??对增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形进而化为行最简形

1????100????12???2?100????0???01?21???12???T1201121????0???101???10?12????00???01?21???01?2?21??0000??000????????0T1?2??1?0???从而方程通解为x?k(1,2,1)?(,1,0)，其中k为任意常数。

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十三（本题满分7分）

?0??a??b??1??3???????????已知向量组?1?1，?2?2，?3?1与向量组?1?2，?2?0，?????????????????1???1???0????3???1???9??具有相同的秩，且?可由?,?,?线性表示，求a,b的值。

?3??63123?????7??【分析】向量组?1,?2,?3不含参数，其秩可直接算出来为2 ，从而向量组?1,?2,?3线性相关，故行列式

?1,?2,?3?0，再根据?3可由?1,?2,?3线性表示，便能解出a,b的值。

【详解】法一：令

9??139??139??13初等行变换???0?6?12???012?

A?(?1,?2,?3)??206????????8???31?7???04???000??从而r(?1,?2,?3)?2。

由于?1,?2,?3与?1,?2,?3有相同的秩，所以

?1,?2,?3?0，而

0ab0ab?1,?2,?3?121?031??(a?3b)，从而a?3b?0------------------------（1）

?110?110又?3可由?1,?2,?3线性表示，故线性方程组x1?1?x2?2?x3?3??3有解 对增广矩阵进行初等行变换

???9b??139b?139b??13??2061???0?6?121?2b???0?6?121?2b? ???????81?b?2(1?2b)???31?70????04??0001?b??3??由非齐次线性方程组有解的条件知1?b?由（1）、(2)可解得a?15,b?5。

法二：因为?1,?2线性无关，?3?3?1?2?2，所以向量组?1,?2,?3线性相关，且秩为2 ，?1,?2是它的一个极大线性无关组。 由于?1,?2,?3与?1,?2,?3有相同的秩，所以

2(1?2b)?0--------------------------------（2） 3?1,?2,?3?0，而

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0ab0ab?1,?2,?3?121?031??(a?3b)，从而a?3b?0------------------------（1） ?110?110又?3可由?1,?2,?3线性表示，从而可有?1,?2线性表示，于是?1,?2,?3线性相关，因此有?1,?2,?3?0，而

?1,?2,?3?210b01?201???2b?10，从而2b?10?0————（2）

21?310?31013b100b 由（1）、(2)可解得a?15,b?5。

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